1 引言

非線性系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，可以說絕大多數(shù)系統(tǒng)是非線性的，例如衛(wèi)星的定位與姿態(tài)控制系統(tǒng)、機(jī)器人控制系統(tǒng)、精密數(shù)控機(jī)床控制系統(tǒng)等等，這些都不可能采用線性模型，因此研究非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題有重要的理論及應(yīng)用價(jià)值。因?yàn)閷Ψ蔷€性系統(tǒng)的最優(yōu)控制，根據(jù)極大值原理會導(dǎo)致求解一個非線性的兩點(diǎn)邊界問題。一般來說，該類問題的解析解往往是不存在的，所以目前對該課題的研究主要集中在其近似解的求解方面，比如Galerkin逐次逼近法，求解非線性HJB方程的級數(shù)展開法，求解狀態(tài)依賴的Riccati方程(Stata-DependentRiccatiEquation,SDRE)迭代解法，準(zhǔn)線性化方法、梯度法等迭代方法，基于向量微分方程迭代的逐次逼近方法等等。近年來隨著以微分幾何為工具的精確線性化方法的發(fā)展，對部分非線性系統(tǒng)可以通過適當(dāng)?shù)姆蔷€性狀態(tài)變換和反饋變換，實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的偽線性化，從而應(yīng)用成熟的線性系統(tǒng)理論和方法。

本文針對非線性單連接機(jī)器人系統(tǒng)給出一種設(shè)計(jì)精確反饋線性化最優(yōu)控制器的方法。首先，給出非線性單連接機(jī)器人的系統(tǒng)模型，并對最優(yōu)控制問題進(jìn)行描述;其次，通過微分同胚坐標(biāo)變換，將非線性單連接機(jī)器人系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)變?yōu)閭尉€性系統(tǒng)模型;再次，在此基礎(chǔ)上給出了在關(guān)系度r等于系統(tǒng)階數(shù)n的情況下基于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)方法;最后，通過求解Riccati方程得到系統(tǒng)最優(yōu)控制率。

2 問題描述

考慮如下非線性系統(tǒng)的動態(tài)方程：

2.1 相關(guān)的微分幾何概念

為了完整的說明狀態(tài)反饋精確線性化的設(shè)計(jì)原理，首先給出在推導(dǎo)中使用的一些相關(guān)的微分幾何概念，包括關(guān)系度r和Lie導(dǎo)數(shù)的概念。