本文僅對一些常見的優(yōu)化方法進(jìn)行直觀介紹和簡單的比較，各種優(yōu)化方法的詳細(xì)內(nèi)容及公式只好去認(rèn)真啃論文了，在此我就不贅述了。

此處的SGD指mini-batch gradient descentm，關(guān)于batch gradient descent、 stochastic gradient descent 以及 mini-batch gradient descent的具體區(qū)別就不細(xì)說了?，F(xiàn)在的SGD一般都指mini-batch gradient descent。SGD就是每一次迭代計(jì)算mini-batch的梯度，然后對參數(shù)進(jìn)行更新，是最常見的優(yōu)化方法了。即：其中，是學(xué)習(xí)率，是梯度SGD完全依賴于當(dāng)前batch的梯度，所以可以理解為允許當(dāng)前的batch的梯度多大程度影響參數(shù)更新。哭缺點(diǎn)（正因?yàn)橛羞@些缺點(diǎn)才讓這么多大神發(fā)展出了后續(xù)的各種算法）：· 選擇合適的learning rate比較困難 - 對所有的參數(shù)更新使用同樣的learning rate。對于稀疏數(shù)據(jù)或者特征，有時(shí)我們可能想更新快一些對于不經(jīng)常出現(xiàn)的特征，對于常出現(xiàn)的特征更新慢一些，這時(shí)候SGD就不太能滿足要求了。· SGD容易收斂到局部最優(yōu)，并且在某些情況下可能被困在鞍點(diǎn)。

momentum是模擬物理里動(dòng)量的概念，積累之前的動(dòng)量來替代真正的梯度。公式如下：其中，是動(dòng)量因子。特點(diǎn)：· 下降初期時(shí)，使用上一次參數(shù)更新，下降方向一致，乘上較大的能夠進(jìn)行很好的加速。· 下降中后期時(shí)，在局部最小值來回震蕩的時(shí)候，，使得更新幅度增大，跳出陷阱。· 在梯度改變方向的時(shí)候，能夠減少更新，總而言之，momentum項(xiàng)能夠在相關(guān)方向加速SGD，抑制振蕩，從而加快收斂。

nesterov項(xiàng)在梯度更新時(shí)做一個(gè)校正，避免前進(jìn)太快，同時(shí)提高靈敏度。將上一節(jié)中的公式展開可得：可以看出，并沒有直接改變當(dāng)前梯度，所以Nesterov的改進(jìn)就是讓之前的動(dòng)量直接影響當(dāng)前的動(dòng)量。即：所以，加上nesterov項(xiàng)后，梯度在大的跳躍后，進(jìn)行計(jì)算對當(dāng)前梯度進(jìn)行校正。如下圖：
momentum首先計(jì)算一個(gè)梯度(短的藍(lán)色向量)，然后在加速更新梯度的方向進(jìn)行一個(gè)大的跳躍(長的藍(lán)色向量)，nesterov項(xiàng)首先在之前加速的梯度方向進(jìn)行一個(gè)大的跳躍(棕色向量)，計(jì)算梯度然后進(jìn)行校正(綠色梯向量)。其實(shí)，momentum項(xiàng)和nesterov項(xiàng)都是為了使梯度更新更加靈活，對不同情況有針對性。但是，人工設(shè)置一些學(xué)習(xí)率總還是有些生硬，接下來介紹幾種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的方法。

Adagrad其實(shí)是對學(xué)習(xí)率進(jìn)行了一個(gè)約束。即：

此處，對從1到進(jìn)行一個(gè)遞推形成一個(gè)約束項(xiàng)regularizer，，用來保證分母非0。

特點(diǎn)：· 前期較小的時(shí)候，regularizer較大，能夠放大梯度。· 后期較大的時(shí)候，regularizer較小，能夠約束梯度。· 適合處理稀疏梯度。缺點(diǎn)：· 由公式可以看出，仍依賴于人工設(shè)置一個(gè)全局學(xué)習(xí)率。· 設(shè)置過大的話，會使regularizer過于敏感，對梯度的調(diào)節(jié)太大。· 中后期，分母上梯度平方的累加將會越來越大，使，使得訓(xùn)練提前結(jié)束。05  AdadeltaAdadelta是對Adagrad的擴(kuò)展，最初方案依然是對學(xué)習(xí)率進(jìn)行自適應(yīng)約束，但是進(jìn)行了計(jì)算上的簡化。Adagrad會累加之前所有的梯度平方，而Adadelta只累加固定大小的項(xiàng)，并且也不直接存儲這些項(xiàng)，僅僅是近似計(jì)算對應(yīng)的平均值。即：在此處Adadelta其實(shí)還是依賴于全局學(xué)習(xí)率的，但是作者做了一定處理，經(jīng)過近似牛頓迭代法之后：

其中，代表求期望。
此時(shí)，可以看出Adadelta已經(jīng)不用依賴于全局學(xué)習(xí)率了。
特點(diǎn)：· 訓(xùn)練初中期，加速效果不錯(cuò)，很快· 訓(xùn)練后期，反復(fù)在局部最小值附近抖動(dòng)

RMSprop可以算作Adadelta的一個(gè)特例，當(dāng)=0.5時(shí)：就變?yōu)榱饲筇荻绕椒胶偷钠骄鶖?shù)。如果再求根的話，就變成了RMS(均方根)：此時(shí)，這個(gè)RMS就可以作為學(xué)習(xí)率的一個(gè)約束：
特點(diǎn)：· 其實(shí)RMSprop依然依賴于全局學(xué)習(xí)率。· RMSprop算是Adagrad的一種發(fā)展，和Adadelta的變體，效果趨于二者之間。· 適合處理非平穩(wěn)目標(biāo) - 對于RNN效果很好。

Adam(Adaptive Moment Estimation)本質(zhì)上是帶有動(dòng)量項(xiàng)的RMSprop，它利用梯度的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)動(dòng)態(tài)調(diào)整每個(gè)參數(shù)的學(xué)習(xí)率。Adam的優(yōu)點(diǎn)主要在于經(jīng)過偏置校正后，每一次迭代學(xué)習(xí)率都有個(gè)確定范圍，使得參數(shù)比較平穩(wěn)。公式如下：其中，、分別是對梯度的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)，可以看作對期望、的估計(jì)；、是對、的校正，這樣可以近似為對期望的無偏估計(jì)?？梢钥闯?，直接對梯度的矩估計(jì)對內(nèi)存沒有額外的要求，而且可以根據(jù)梯度進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，而 對學(xué)習(xí)率形成一個(gè)動(dòng)態(tài)約束，而且有明確的范圍。特點(diǎn)：· 結(jié)合了Adagrad善于處理稀疏梯度和RMSprop善于處理非平穩(wěn)目標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)。· 對內(nèi)存需求較小。· 為不同的參數(shù)計(jì)算不同的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率。· 也適用于大多非凸優(yōu)化 - 適用于大數(shù)據(jù)集和高維空間。

Adamax是Adam的一種變體，此方法對學(xué)習(xí)率的上限提供了一個(gè)更簡單的范圍。公式上的變化如下：可以看出，Adamax學(xué)習(xí)率的邊界范圍更簡單。

Nadam類似于帶有Nesterov動(dòng)量項(xiàng)的Adam。公式如下：可以看出，Nadam對學(xué)習(xí)率有了更強(qiáng)的約束，同時(shí)對梯度的更新也有更直接的影響。一般而言，在想使用帶動(dòng)量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果。

· 對于稀疏數(shù)據(jù)，盡量使用學(xué)習(xí)率可自適應(yīng)的優(yōu)化方法，不用手動(dòng)調(diào)節(jié)，而且最好采用默認(rèn)值。· SGD通常訓(xùn)練時(shí)間更長，但是在好的初始化和學(xué)習(xí)率調(diào)度方案的情況下，結(jié)果更可靠。· 如果在意更快的收斂，并且需要訓(xùn)練較深較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)時(shí)，推薦使用學(xué)習(xí)率自適應(yīng)的優(yōu)化方法。· Adadelta，RMSprop，Adam是比較相近的算法，在相似的情況下表現(xiàn)差不多。· 在想使用帶動(dòng)量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果。
最后展示兩張比較厲害的圖，一切盡在圖中......損失平面等高線在鞍點(diǎn)處的比較

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