數(shù)學(xué)家們?cè)A(yù)測(cè)，如果對(duì)形狀如何平鋪空間施加足夠的限制，他們可能必然出現(xiàn)周期性模式，但事實(shí)證明不是這樣。

幾何學(xué)中，最難攻克的問題往往是一些最古老、最簡(jiǎn)單的問題。
自古以來，藝術(shù)家和幾何學(xué)家們就想知道幾何形狀如何在沒有間隙或重疊的情況下鋪滿整個(gè)平面。然而用羅切斯特大學(xué)數(shù)學(xué)家 Alex Isoevich 的話來說——這個(gè)問題「直到最近才有所進(jìn)展?！?/span>
數(shù)學(xué)家想知道什么時(shí)候可以形成非周期性的平鋪模式——像彭羅斯平鋪這樣的模式，永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)。
最明顯的瓷磚重復(fù)模式是：用正方形、三角形或六邊形覆蓋地板很容易。不過在 1960 年代，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一組奇怪的瓷磚，它們可以完全覆蓋平面，但只能以永不重復(fù)的方式覆蓋。
這就讓人不由地想要看看這種結(jié)構(gòu)能有多瘋狂了。事實(shí)證明，確實(shí)瘋狂。
第一個(gè)這樣的非重復(fù)或非周期性圖案包含一組 20426 個(gè)不同的瓷磚。數(shù)學(xué)家想知道他們是否可以降低這個(gè)數(shù)字。到 20 世紀(jì) 70 年代中期，英國科學(xué)家羅杰 · 彭羅斯（他后來因使用數(shù)學(xué)方法證明黑洞是愛因斯坦廣義相對(duì)論的直接結(jié)果而獲得 2020 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)）證明了一組簡(jiǎn)單的只有兩塊瓷磚（被稱為「風(fēng)箏」和「飛鏢」）的配置就足夠了。
想鋪出不重復(fù)的形式并不難，你可以調(diào)整許多重復(fù)或周期性的平鋪以形成非重復(fù)的平鋪。比如考慮一個(gè)無限的正方形網(wǎng)格，像棋盤一樣對(duì)齊。
如果移動(dòng)每一行，使其與其上方的行偏移不同的量，你將永遠(yuǎn)無法找到可以像圖章一樣剪切和粘貼以重新創(chuàng)建完整平鋪的區(qū)域。真正的訣竅是像彭羅斯那樣，找到可以覆蓋整個(gè)平面的瓷磚組，但只能以不重復(fù)的方式覆蓋。

這就提出了一個(gè)問題：「可能有一塊形狀巧妙的瓷磚符合要求嗎？」
令人驚訝的是，答案是肯定的——如果允許移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)和鏡像瓷磚，就能找到一塊符合要求的瓷磚。如果瓷并沒有連接上，那么其中的間隙可以由其他適當(dāng)旋轉(zhuǎn)、適當(dāng)反射的瓷磚副本填充，最終覆蓋整個(gè)二維平面。
但是如果不允許旋轉(zhuǎn)這塊瓷磚，就不可能不留空隙地平鋪平面。
事實(shí)上，幾年前數(shù)學(xué)家 Siddhartha Bhattacharya 證明了——無論多么復(fù)雜或細(xì)化的瓷磚設(shè)計(jì)——如果只能使用單個(gè)瓷磚的移位或平移，那么就不可能設(shè)計(jì)出非周期性地覆蓋整個(gè)平面的瓷磚。
數(shù)學(xué)家 Bhattacharya 的二維猜想也適用于高維空間。這個(gè)假設(shè)被稱為周期性平鋪猜想，類似于不存在非周期性二維瓷磚一樣，數(shù)學(xué)家們也假設(shè)不存在合適的三維塊或更大維度的情況。
上個(gè)月，Greenfeld 和加州大學(xué)洛杉磯分校華人數(shù)學(xué)家陶哲軒（Terence Tao）最終解決了這個(gè)猜想——但不是以數(shù)學(xué)家預(yù)期的方式。他們構(gòu)建了一個(gè)可以非周期性填充高維空間但不能周期性填充的「瓷磚」，從而推翻了這個(gè)猜想。

論文鏈接：https://arxiv.org/abs/2211.15847
克里特大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Mihalis Kolountzakis 說：「我希望這個(gè)猜想在所有維度上都是正確的，但我想在足夠高的維度上，情況可能會(huì)不一樣。”
實(shí)際上，這個(gè)瓷磚問題不僅是個(gè)幾何問題，它還與幾何以外——邏輯本身極限的問題有關(guān)。

加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)家 Rachel Greenfeld
合作研究
2019 年，Greenfeld 以博士后研究員的身份來到加州大學(xué)洛杉磯分校，她和陶哲軒兩人都獨(dú)立研究了與平移拼接相關(guān)的問題。兩位研究者也將目光投向了證明周期性平鋪猜想。
這個(gè)猜想在一維和二維中的結(jié)果已廣為人知，陶哲軒和 Greenfeld 試圖在三維的情況上證明它：證明如果你可以移動(dòng)一個(gè)三維形狀來平鋪整個(gè)三維空間，那么一定有一種方法可以周期性平鋪空間。
他們?nèi)〉昧艘恍┻M(jìn)展——使用不同的方法在二維中重新證明了這個(gè)猜想——他們希望新方法可以適用于三維情況。然而，他們碰壁了。 
陶哲軒說：「也許我們無法在更高維度上證明這個(gè)猜想是有原因的。我們應(yīng)該開始尋找反例?！顾麄兪崂砹似渌侵芷谛越Y(jié)構(gòu)的文獻(xiàn)，然后著手尋找非周期性的反例。

他們從改變環(huán)境開始。假設(shè)平鋪一個(gè)二維空間，不要試圖平鋪一個(gè)連續(xù)的平面，考慮一個(gè)二維格子，一個(gè)排列在網(wǎng)格中的無限點(diǎn)陣列。你現(xiàn)在可以將圖塊定義為網(wǎng)格上的一組有限點(diǎn)，如果你有一個(gè)合適的平鋪，那么你可以通過復(fù)制有限的點(diǎn)集并將它們四處滑動(dòng)來恰好覆蓋格子中的每個(gè)點(diǎn)一次。
證明高維格子的「離散」周期性拼接猜想與證明該猜想的連續(xù)版本略有不同，因?yàn)槠唇釉诟褡又惺强赡艿?，但在連續(xù)空間中是不可能的。但它們是相關(guān)的。Greenfeld 和陶哲軒想要提出一個(gè)離散的反例來證明他們隨后可以修改以在連續(xù)情況下也適用的猜想。
2021 年，他們?cè)谡撐摹禪ndecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile》中接近了目標(biāo)，在一個(gè)非常高維的空間中找到了兩塊瓷磚，其可以填充它們所在的空間，但只是無周期的。Greenfeld 說道。「非常接近了，但還不夠，但兩塊瓷磚比一塊更不牢固。」
又過了一年半時(shí)間，兩人為周期性平鋪猜想找到了一個(gè)真正的反例。
「瓷磚三明治」
他們從構(gòu)建一種新語言開始，首先將問題重寫為一種特殊的方程式。這個(gè)方程式中的未知「變量」，即需要解決的問題代表了平鋪高維空間的所有可能方式?！傅愫茈y用一個(gè)方程式來描述事物，」陶哲軒說?！赣袝r(shí)你需要多個(gè)方程來描述一個(gè)非常復(fù)雜的空間集合。」
因此，Greenfeld 和陶哲軒重新構(gòu)建了他們想要解決的問題。他們意識(shí)到可以轉(zhuǎn)而設(shè)計(jì)一個(gè)方程組，其中每個(gè)方程都會(huì)對(duì)其解編碼不同的約束。這讓他們可以將問題分解為一個(gè)關(guān)于許多不同瓷磚的問題——在其中，所有瓷磚都使用同一組翻轉(zhuǎn)覆蓋給定空間。
例如，在二維空間中你可以通過向上、向下、向左或向右滑動(dòng)一個(gè)正方形來平鋪平面，一次一個(gè)單位。其他形狀也可以使用完全相同的一組偏移來平鋪平面：例如，一個(gè)正方形的右邊緣添加了一個(gè)凸起，左邊緣被移除，就像拼圖游戲一樣。
如果你把一個(gè)正方形、一塊拼圖和其他使用同一組移位的瓷磚，像三明治中的冷盤一樣把它們堆在一起，你就可以構(gòu)建一個(gè)使用單一移位的瓷磚來覆蓋 3D 空間。Greenfeld 和陶哲軒需要的是在更多的維度上做這件事。
陶哲軒表示：「由于我們始終是在高維度上研究，多加一個(gè)維度并沒有真正妨礙到我們?！瓜喾矗@提供了額外的靈活性，以求得一個(gè)好的解決方案。
數(shù)學(xué)家們?cè)噲D扭轉(zhuǎn)這種夾層構(gòu)建程序，將他們的單方程、高維平鋪問題改寫為一系列低維平鋪方程。這些方程后來決定了高維平鋪的構(gòu)造是什么樣的。

陶哲軒說：「哪怕你只有兩塊瓷磚，它們也可以互相交談，做些復(fù)雜的事情。」
Greenfeld 和陶哲軒認(rèn)為他們的平鋪方程系統(tǒng)是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序。每一行代碼或方程都是一個(gè)命令，而命令的組合可以生成一個(gè)程序，實(shí)現(xiàn)一個(gè)特定的目標(biāo)。「邏輯電路是由非?；镜膶?duì)象構(gòu)成的，AND 門和 OR 門等等，」陶哲軒說?！该恳粋€(gè)都不是很有趣，但是你把它們堆在一起，就可以做出一個(gè)可以畫正弦波或在互聯(lián)網(wǎng)上通信的電路?！?/span>
「所以我們開始把我們的問題看作是一種編程問題，」他繼續(xù)說。他們的每一個(gè)命令都是一個(gè)不同的屬性，而最終瓷磚需要滿足這些屬性，所以作為一個(gè)整體的程序?qū)⒈ＷC任何符合所有標(biāo)準(zhǔn)的平鋪必須是非周期的。
那么問題來了，在所有這些平鋪方程中編碼什么樣的屬性，才能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)？例如，夾層中的一個(gè)瓷磚的形狀可能只允許某些類型的移動(dòng)。數(shù)學(xué)家們必須小心翼翼地建立起約束清單，以避免限制到排除任何解決方案，但要足以限制到排除所有周期性解決方案。
Greenfeld 說：「這里的博弈是構(gòu)建正確的約束水平，對(duì)正確的難題進(jìn)行編碼。」
無限數(shù)獨(dú)
Greenfeld 和陶哲軒希望用他們平鋪方程編制的謎題是一個(gè)無限多行和大量而有限數(shù)量的列組成的網(wǎng)格。數(shù)學(xué)家們?cè)噲D用特定的數(shù)字序列填滿每一行和對(duì)角線，這些數(shù)字序列與他們可以用平鋪方程描述的約束類型相對(duì)應(yīng)：他們將其比作一個(gè)巨大的數(shù)獨(dú)謎題。
然后，二人找到了非周期性的序列，意味著相關(guān)的平鋪方程系統(tǒng)的解決方案也是非周期性的?！高@個(gè)謎題基本上只有一個(gè)解決方案，它是個(gè)有趣的東西，幾乎是但不完全是周期性的，」陶哲軒說?！肝覀兓撕芏鄷r(shí)間才找到。」
「研究幾乎是周期性但不完全是周期性的函數(shù)，是數(shù)學(xué)中一直存在的東西，」不列顛哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Izabella ?aba 說?！傅@次是一種非常不同的使用該類型結(jié)構(gòu)的方式?！?/span>
正如 Iosevich 所說，Greenfeld 和陶哲軒創(chuàng)造了一個(gè)完全初級(jí)的對(duì)象，并將事情推到一個(gè)「看起來更復(fù)雜的情況」。

陶哲軒正在用兒童玩具探索瓷磚的配置，拍攝：Rachel Greenfeld。
在過程中，他們構(gòu)建了一個(gè)高維的非周期平鋪，首先是在離散環(huán)境中，然后是在連續(xù)環(huán)境中。這種平鋪是如此復(fù)雜，充滿曲折和漏洞以至于幾乎無法覆蓋空間。「這是一個(gè)討厭的平鋪，」陶哲軒表示?！肝覀儧]有試圖讓它變得漂亮?！?/span>
他和 Greenfeld 沒有計(jì)算它所處空間的維度，只知道它是巨大的，可能有 2 ^( 100^100) 那么大?！肝覀兊淖C明是建設(shè)性的，所以一切都很明確，而且可以計(jì)算，」Greenfeld 說?！傅?yàn)樗x最佳狀態(tài)非常非常遠(yuǎn)，我們沒有檢查它。」
事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為他們可以在更低的維度上找到非周期性平鋪。這是因?yàn)樗麄兊臉?gòu)造中，一些技術(shù)性更強(qiáng)的部分涉及到在特殊空間中工作，這些空間在概念上「非常接近于 2D」。Greenfeld 不認(rèn)為他們會(huì)找到一個(gè) 3D 的瓷磚，但她說一個(gè) 4D 的瓷磚是可行的。
因此，Iosevich 說，他們不僅僅是推翻了周期性平鋪的猜想?！杆麄円宰铑嵏驳姆绞阶龅搅诉@一點(diǎn)。」
不完備性的探索
這項(xiàng)工作標(biāo)志著一種構(gòu)建非周期性平鋪的新方法，Greenfeld 和陶哲軒認(rèn)為這種方法可用于推翻其他與平鋪有關(guān)的猜想。反過來，這可能使數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步推動(dòng)復(fù)雜性產(chǎn)生的邊界。
「似乎確實(shí)有一種新的原則，即高維幾何學(xué)就是討厭的，」陶哲軒表示?！傅覀儚?2D 和 3D 得到的直覺可能會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)?！?/span>
這項(xiàng)工作不僅涉及人類直覺的邊界問題，還涉及數(shù)學(xué)推理的邊界問題。在 20 世紀(jì) 30 年代，數(shù)學(xué)家?guī)鞝柼?· 哥德爾（Kurt G?del）表明，任何足以發(fā)展基本算術(shù)的邏輯系統(tǒng)都是不完整的，即「哥德爾不完備定理」。在這個(gè)系統(tǒng)中，有些語句既不能被證明也不能被反駁。事實(shí)證明，數(shù)學(xué)中充滿了「不可判定」的語句。
同樣，這項(xiàng)工作也充滿了計(jì)算上不可判定的問題，任何算法都無法在有限的時(shí)間內(nèi)解決的問題。數(shù)學(xué)家們?cè)?20 世紀(jì) 60 年代發(fā)現(xiàn)，關(guān)于傾角的問題也可以是不可判定的。也就是說，對(duì)于某些形狀的集合，可以證明的是，在有限的時(shí)間內(nèi)不可能弄清楚它們是否在給定的空間內(nèi)鋪設(shè)瓷磚。(原則上，這樣做的唯一方法是考慮所有可能的方式，將瓷磚鋪在一起，直到時(shí)間終止）。
「這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問題，但還是超出了數(shù)學(xué)的范圍，」耶魯大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Richard Kenyon 說?！高@不是這種情況的第一個(gè)例子，即某種數(shù)學(xué)理論是不可判定的或不完整的，但它確實(shí)是最樸實(shí)的一個(gè)?！?/span>
去年，Greenfeld 和陶哲軒發(fā)現(xiàn)，一個(gè)關(guān)于高維瓷磚對(duì)的一般定理是不可判定的。他們證明，沒有人能夠弄清楚某些成對(duì)的瓷磚是否能夠完全覆蓋它們所在的空間（無論是周期性的還是非周期性的）。
關(guān)于單個(gè)瓷磚的定理是否也是不可判定的？自 20 世紀(jì) 60 年代以來，人們知道，如果周期性平鋪猜想是真的，那么總是有可能確定任何給定的瓷磚是否可以覆蓋平面。
但相反的情況不一定是真的。僅僅因?yàn)橐粋€(gè)非周期性平鋪存在，這并不意味著一個(gè)不可判定的平鋪也存在。
這就是 Greenfeld 和陶哲軒接下來想要弄清楚的事情——如何應(yīng)用他們?yōu)檫@項(xiàng)成果所開發(fā)的一些技術(shù)。陶哲軒說：「我們創(chuàng)造的語言應(yīng)該能夠創(chuàng)造出一個(gè)不可判定的謎題，這是非常合理的。因此，可能對(duì)于一些瓷磚，我們將永遠(yuǎn)無法證明它是平鋪空間還是非平鋪空間?！?/span>
為了證明一個(gè)語句是不可判定的，數(shù)學(xué)家通常表明它等同于另一個(gè)已經(jīng)知道是不可判定的問題。因此，如果這個(gè)平鋪問題被證明也是不可判定的，它就可以作為證明其他背景下的不可判定性的又一個(gè)工具，這些背景遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了關(guān)于如何平鋪空間的問題。
同時(shí)，Greenfeld 和陶哲軒的這項(xiàng)工作也是一種警示。Iosevich 說：「數(shù)學(xué)家們喜歡漂亮、干凈的定理。但你不要相信聽到的一切。不幸的是，數(shù)學(xué)中所有有趣的語句未必都是漂亮的，而且它們不一定按照我們希望的方式運(yùn)行?！?/span>
參考內(nèi)容：https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/https://terrytao.wordpress.com/2022/09/19/a-counterexample-to-the-periodic-tiling-conjecture/