目標(biāo)

本小節(jié)將尋求以下問題的答案：

什么是傅立葉變換，為什么要使用傅立葉變換？

如何在OpenCV中使用傅立葉變換？

 copyMakeBorder() , merge() , dft() , getOptimalDFTSize() , log() 和 normalize() 等函數(shù)的使用方法。

源代碼

可以到

samples/cpp/tutorial_code/core/discrete_fourier_transform/discrete_fourier_transform.cpp目錄下查看OpenCV的源代碼庫。

下面是dft（）的應(yīng)用示例程序：

代碼詳解

傅立葉變換可以將圖像分解成正弦和余弦分量。也就是說，它將圖像從空間域變換到頻率域。其主要思想為：任何函數(shù)均可以用無限多個正弦和余弦函數(shù)之和來精確近似。傅立葉變換正是這一想法的實現(xiàn)。數(shù)學(xué)上，一張二維圖像的傅里葉變換可表示如下：

這里，f是圖像在空間域的圖像值， F是圖像在頻率域的圖像值，轉(zhuǎn)換后的結(jié)果為復(fù)數(shù)，可以通過并且可以用實數(shù)圖和復(fù)數(shù)圖進(jìn)行表示，也可以用幅度和相位圖進(jìn)行表示。然而，對于圖像處理算法而言算法僅關(guān)注圖像的幅度信息，因為其中包含了圖像幾何結(jié)構(gòu)中的所有信息。如果想通過對復(fù)數(shù)圖像或幅度/相位圖像下的象函數(shù)進(jìn)行修改，從而間接地調(diào)整原函數(shù)， 那么則需要保留象函數(shù)的值，并進(jìn)行傅里葉變換逆變換，從而獲得調(diào)整后的原函數(shù)的數(shù)值。

在此示例中，將介紹如何計算和顯示圖像經(jīng)過傅里葉變換的幅度圖值。假設(shè)數(shù)字圖像的傅里葉變換是離散的傅里葉變換，可以在給定的域值中任取一個數(shù)值。例如，灰度圖像的像素值通常在0到255之間，那么傅立葉變換的結(jié)果也是離散型的。當(dāng)需要從幾何視角來確定圖像的結(jié)構(gòu)時，便可適用DFT。下面是離散型的傅里葉變換（DFT ）的實現(xiàn)步驟（假設(shè)輸入圖像為灰度圖像I）：

將圖像展開到最佳尺寸

DFT的性能取決于圖像的大小，當(dāng)圖像的尺寸為2，3，5 的倍數(shù)時，離散傅里葉變換（DFT ）的速度最快。因此，為獲得最優(yōu)的性能，可以通過調(diào)整圖像的邊界值來獲得便于快速計算的圖像尺寸。getOptimalDFTSize（）函數(shù)返回一個最優(yōu)尺寸的圖像，使用copyMakeBorder（）函數(shù)擴(kuò)展圖像（將增加的像素值初始化為零）的邊界：

為復(fù)數(shù)的實部和虛部開辟存儲空間

傅立葉變換的結(jié)果是復(fù)數(shù)，這意味著，每個圖像對應(yīng)著兩個像素值（實部和虛部各一個分量）。此外，頻率域范圍比其對應(yīng)的空間域范圍要大得多，所以至少要用浮點（float format）的格式來存儲傅里葉變換的結(jié)果。為此，需要將輸入的圖像數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換成浮點類型，并擴(kuò)展出另一個通道來保存復(fù)數(shù)值：

離散傅立葉變換

進(jìn)行原位計算（輸入數(shù)據(jù)同輸出數(shù)據(jù)）：

將復(fù)數(shù)的實部和虛部轉(zhuǎn)換成幅度值

復(fù)數(shù)包含實部(Re)和虛部( Im) 兩部分。DFT的結(jié)果為復(fù)數(shù)，這個復(fù)數(shù)的幅度為：

轉(zhuǎn)換成OpenCV的代碼如下：

切換到對數(shù)尺寸

由于傅里葉系數(shù)的動態(tài)范圍過大，無法在屏幕上顯示，

一些較小和較大的變化值也無法在線性尺度下觀察到。因此，較高的數(shù)值會變成白點，而較小的數(shù)值變?yōu)楹邳c。為了便于顯示全部數(shù)值，可使用灰度值，并將線性尺寸變換成對數(shù)尺寸：

轉(zhuǎn)換成OpenCV代碼如下：

剪裁和重排

在上述第一步中，對圖像的尺寸進(jìn)行了擴(kuò)展，在這里則需要拋棄由圖像擴(kuò)展而新引進(jìn)的像素值。為了方便可視化，對結(jié)果值的象限重新排列，使得原點（零，零）對應(yīng)圖像中心。

歸一化

歸一化的目的也是為了便于可視化。經(jīng)過運(yùn)算之后，獲得了幅度值，但這些數(shù)值仍然超出了圖像的顯示范圍（從零到一），為此，利用cv::normalize()函數(shù)對幅度值進(jìn)行歸一化，取值在零到一的范圍之內(nèi)。

結(jié)果

應(yīng)用傅里葉變換的主要目的是要確定圖像的幾何方向。例如，如何看出文本是水平還是垂直方向的？對于某些文字來說，文本行的排序形式是水平線，而字母則形成某種垂直線。經(jīng)傅里葉變換后，仍然可以看到文本中片段中的兩個主要部分。下面，分別用水平和旋轉(zhuǎn)圖像來描述某一文本。

水平文本圖像：

旋轉(zhuǎn)文本圖像：

從中可以看出，頻域中影響最大的分量（幅度圖像上最亮的點）會隨著圖像的幾何位置旋轉(zhuǎn)，可以根據(jù)這一點計算出偏移量，通過旋轉(zhuǎn)圖像來對位置進(jìn)行糾正。

注：本文以C++語言代碼為例，獲取Java和python版本可在原文中查看：

https://docs.opencv.org/4.5.2/d8/d01/tutorial_discrete_fourier_transform.html