遵循古老的傳統(tǒng)，F(xiàn)表示頻域，f表示時(shí)域，所以可以從公式1-2中看出，每個(gè)子載波上面調(diào)制的幅度，就是頻域信息。類似的說(shuō)法是：OFDM傳輸?shù)氖穷l域信號(hào)。這種說(shuō)法有些別扭，但是很多教程或文章會(huì)使用這樣的說(shuō)明方式，就看讀者如何理解了。如果純粹從公式或者子載波來(lái)看，這種說(shuō)法其實(shí)也是很直接的闡述了。

　　上面1.1-1.3的擴(kuò)展，可如下圖所示：

　　圖七：時(shí)域上的OFDM系統(tǒng)圖

　　1.4

　　還有這一步嗎?其實(shí)是有的。"小白"你可以先想想，想不到的話先往下看，因?yàn)檫@需要在頻域中考量，所以我寫在后面了。【也可參考[1]】

　　將上述的時(shí)域分析配上LTE的實(shí)現(xiàn)，有如下情況：

　　【注1：本段描述需要有LTE物理層的基本知識(shí)，如果看不明白，請(qǐng)暫時(shí)跳過(guò)，看完整篇文章后再回看】

　　【注2：LTE并非時(shí)域的實(shí)現(xiàn)，下面僅僅是套用LTE的參數(shù)，做一個(gè)參考分析】

　　子載波的間隔Δf=15kHz，一個(gè)OFDM

　　symbol的發(fā)送時(shí)間是66.7us，可以發(fā)現(xiàn)，15kHz*66.67us=1，即基帶上一個(gè)OFDM

　　symbol的發(fā)送時(shí)間正好發(fā)送一個(gè)一次諧波的完整波形。對(duì)于10M的LTE系統(tǒng)，采用的是1024個(gè)子載波，但是只有中間600個(gè)(不含最中間的直流)子載波被用于傳送數(shù)據(jù)。在一個(gè)OFDM

　　symbol的時(shí)間內(nèi)(即66.67us)，靠近中間的兩個(gè)一次諧波傳輸一個(gè)完整波形，再靠外一點(diǎn)的兩個(gè)二次諧波傳輸兩個(gè)完整波形，以此類推至最外面的兩個(gè)300次諧波傳輸了300個(gè)完整的波形。在這66.67us內(nèi)，600個(gè)子載波互相正交，其上分別承載了600個(gè)復(fù)數(shù)信號(hào)。

　　上面的說(shuō)法有點(diǎn)啰嗦，不如圖示來(lái)得直觀。本來(lái)準(zhǔn)備再畫一圖的，不過(guò)一來(lái)上面已經(jīng)有了類似的圖，實(shí)是大同小異;二來(lái)，600個(gè)子載波，也太多了點(diǎn)。。。

　　OK，說(shuō)到這里，從時(shí)域上面來(lái)看OFDM，其實(shí)是相當(dāng)簡(jiǎn)潔明快討人喜歡的。不過(guò)，一個(gè)系統(tǒng)若要從時(shí)域上來(lái)實(shí)現(xiàn)OFDM，難度太大，時(shí)延和頻偏都會(huì)嚴(yán)重破壞子載波的正交性，從而影響系統(tǒng)性能。這點(diǎn)在各種教材文章中都會(huì)有提及，我就不贅述了。

　　下面將轉(zhuǎn)入頻域來(lái)描述OFDM，由于頻域不甚直觀，的確會(huì)稍稍讓人費(fèi)解。不過(guò)只要時(shí)刻想著時(shí)域子載波間的疊加，一切都會(huì)好起來(lái)。

　　章節(jié)二：頻域上的OFDM

　　第一章節(jié)時(shí)域上的討論開始于OFDM中的"O";本章節(jié)頻域上我們從"FDM"開始。

　　先圖例一個(gè)常規(guī)FDM的系統(tǒng)圖：

　　圖11：常規(guī)FDM，兩路信號(hào)頻譜之間有間隔，互相不干擾

　　為了更好的利用系統(tǒng)帶寬，子載波的間距可以盡量靠近些。

　　圖12：靠得很近的FDM，實(shí)際中考慮到硬件實(shí)現(xiàn)，解調(diào)第一路信號(hào)時(shí)，已經(jīng)很難完全去除第二路信號(hào)的影響了(電路的實(shí)現(xiàn)畢竟不能像剪刀裁紙一樣利落)，兩路信號(hào)互相之間可能已經(jīng)產(chǎn)生干擾了

　　還能再近些嗎?可以的。這就是OFDM的來(lái)歷啊，近到完全等同于奈奎斯特帶寬(后面有詳述)，使頻帶的利用率達(dá)到了理論上的最大值。

　　圖13：繼續(xù)靠近，間隔頻率互相正交，因此頻譜雖然有重疊，但是仍然是沒有互相干擾的。神奇的OFDM

　　上面三個(gè)圖的確有點(diǎn)小兒科，不知道"小白"是不是已經(jīng)在心里吶喊：這誰(shuí)不知道呀!不過(guò)我在這里花時(shí)間畫了三張圖，總還是有所考量的：

　　a.

　　作為上一個(gè)章節(jié)和本章節(jié)之間的補(bǔ)充和連接，說(shuō)明一下OFDM在頻域上面的表現(xiàn)，亦即OFDM的本源來(lái)歷。

　　b. 引導(dǎo)思考：信號(hào)的帶寬是多少?

　　c.

　　引導(dǎo)思考：OFDM正交頻譜疊加部分到底有多寬呢?結(jié)合1.4，先想想，再往下看，會(huì)更好。

　　再次回到正軌，請(qǐng)回看第一節(jié)中的圖一至圖六等時(shí)域波形圖，圖示了在時(shí)域上，波形的調(diào)制，疊加接收，以及最終的解碼。讓我們看看圖一至圖三中的每個(gè)步驟在頻域上是如何表現(xiàn)的。

　　首先來(lái)看sin(t)。"小白"呀"小白"，你且說(shuō)說(shuō)sin(t)的頻譜是啥呀?"小白"弱弱的說(shuō)：是一個(gè)沖激。是的，sin(t)是個(gè)單一的正弦波，代表著單一的頻率，所以其頻譜自然是一個(gè)沖激。不過(guò)其實(shí)圖一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之內(nèi)的一小段。無(wú)限長(zhǎng)度的信號(hào)被限制在一小截時(shí)間之內(nèi)，【就好比從一個(gè)完整的人身上逮下一根頭發(fā)，然后把整個(gè)人都丟掉，以發(fā)代人】其頻譜也不再是一個(gè)沖激了。

　　對(duì)限制在[0,2π]內(nèi)的sin(t)信號(hào)，相當(dāng)于無(wú)限長(zhǎng)的sin(t)信號(hào)乘以一個(gè)[0,2π]上的門信號(hào)(矩形脈沖)，其頻譜為兩者頻譜的卷積。sin(t)的頻譜為沖激，門信號(hào)的頻譜為sinc信號(hào)(即sin(x)/x信號(hào))。沖激信號(hào)卷積sinc信號(hào)，相當(dāng)于對(duì)sinc信號(hào)的搬移。所以分析到這里，可以得出圖一的時(shí)域波形其對(duì)應(yīng)的頻譜如下：

　　圖21：限定在[0,2π]內(nèi)的a·sin(t)信號(hào)的頻譜，即以sin(t)為載波的調(diào)制信號(hào)的頻譜

　　sin(2t)的頻譜分析基本相同。需要注意的是，由于正交區(qū)間為[0,2π]，因此sin(2t)在相同的時(shí)間內(nèi)發(fā)送了兩個(gè)完整波形。相同的門函數(shù)保證了兩個(gè)函數(shù)的頻譜形狀相同，只是頻譜被搬移的位置變了：

　　圖22：限定在[0,2π]內(nèi)的b·sin(2t)信號(hào)的頻譜，即以sin(2t)為載波的調(diào)制信號(hào)的頻譜

　　將sin(t)和sin(2t)所傳信號(hào)的頻譜疊加在一起，如下：

　　圖23：a·sin(t)+b·sin(2t)信號(hào)的頻譜

　　圖23和圖13，均是頻域上兩個(gè)正交子載波的頻譜圖。比一下，發(fā)現(xiàn)了嗎?不太一樣!

　　是的，想必你已經(jīng)想起來(lái)了，這是因?yàn)榛鶐盘?hào)在傳輸前，一般會(huì)通過(guò)脈沖成型濾波器的結(jié)果。比如使用"升余弦滾降濾波器"后，圖23所示的信號(hào)就會(huì)被修理成圖13所示的信號(hào)了。這樣可以有效的限制帶寬外部的信號(hào)，在保證本路信號(hào)沒有碼間串?dāng)_的情況下，既能最大限度的利用帶寬，又能減少子載波間的各路信號(hào)的相互干擾。這也是1.4中沒有提及的，更多的可參考[1]

　　貼士：脈沖成型濾波器作用于頻域，可以"看作"時(shí)域中的每個(gè)碼元都是以類似sinc信號(hào)發(fā)出的。沒必要糾結(jié)于發(fā)送端碼元的時(shí)域波形，只需要知道在接收端通過(guò)合適的采樣就可以無(wú)失真的恢復(fù)信號(hào)就OK咯。

　　這里用到的是奈奎斯特第一準(zhǔn)則，在下面的框框內(nèi)會(huì)稍作描述：

　　奈奎斯特第一準(zhǔn)則請(qǐng)自行g(shù)oogle，這里說(shuō)說(shuō)其推論：碼元速率為1/T(即每個(gè)碼元的傳輸時(shí)長(zhǎng)為T)，進(jìn)行無(wú)碼間串?dāng)_傳輸時(shí)，所需的最小帶寬稱為奈奎斯特帶寬。

　　對(duì)于理想低通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/(2T)

　　對(duì)于理想帶通信道，奈奎斯特帶寬W =1/T

　　在下面的圖31中，可以看出信號(hào)的實(shí)際帶寬B是要大于奈奎斯特帶寬W(低通的1/(2T)或者帶通的1/T)的，這就是理想和現(xiàn)實(shí)的距離。

　　補(bǔ)充說(shuō)明：本文提到的"帶寬"，也即約定俗成的帶寬理解方式，指的是信號(hào)頻譜中>=0的部分。在從低通到帶通的搬移過(guò)程中，因?yàn)閷⒃盘?hào)負(fù)頻率部分也移出來(lái)了(也可理解為同乘e(j2πfct)

　　+ e(-j2πfct)的結(jié)果，見參考[2])【注：沒有上角標(biāo)和下角標(biāo)的編輯器，真不爽。不過(guò)，你應(yīng)該看得懂的】，所以帶寬翻倍了。如下圖所示：

　　圖31：內(nèi)涵豐富的圖，請(qǐng)參看上面和下面的說(shuō)明文字

　　上面專門用框框列出奈奎斯特第一準(zhǔn)則，還有一個(gè)重要目的就是說(shuō)明下頻帶利用率的問題。頻帶利用率是碼元速率1/T和帶寬B(或者W)的比值。

　　理想情況下，低通信道頻帶利用率為2Baud/Hz;帶通信道頻帶利用率同樣為2Baud/Hz(負(fù)頻率移出來(lái)后，和正頻率一樣可以獨(dú)立攜帶信號(hào))

　　實(shí)際情況下，因?yàn)閷?shí)際帶寬B要大于奈奎斯特帶寬W，所以實(shí)際FDM系統(tǒng)的頻帶利用率會(huì)低于理想情況。

　　【說(shuō)到這里，終于可以圖窮匕見了】而OFDM的子載波間隔最低能達(dá)到奈奎斯特帶寬，也就是說(shuō)(在不考慮最旁邊的兩個(gè)子載波情況下)，OFDM達(dá)到了理想信道的頻帶利用率。

　　圖32：OFDM正交子載波，載頻間距為奈奎斯特帶寬，保證了最大的頻帶利用率

　　將上述的頻域分析配上LTE的實(shí)現(xiàn)，有如下情況：

　　【注：本段描述需要有LTE物理層的基本知識(shí)】

　　子載波的間隔Δf=15kHz，一個(gè)OFDM

　　symbol的發(fā)送時(shí)間是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子幀共傳輸14個(gè)OFDM symbol【不是15個(gè)，留空給CP了】，每一個(gè)OFDM

　　symbol攜帶600個(gè)復(fù)數(shù)信息，因此：

　　1. 從整個(gè)系統(tǒng)來(lái)看，波特率為600*14*2/1ms =

　　16.8MBaud，占據(jù)帶寬10MHz，因此帶寬利用率為16.8MBaud/10MHz =

　　1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情況?！咀ⅲ阂皇荂P占用了每個(gè)OFDM

　　Symbol約1/15的資源，二是10MHz的頻帶并不是滿打滿算的用于傳輸數(shù)據(jù)，其邊界頻帶需要留空以減少與鄰近信道的干擾】

　　2.

　　單從OFDM一個(gè)symbol來(lái)看，波特率為600*2/66.7us =

　　18MBaud，占據(jù)帶寬600*15kHz=9MHz【不考慮邊界子載波帶外問題】，因此其帶寬利用率為18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的討論。

　　附：5M帶寬的WCDMA的chip

　　rate = 3.84M/s，即碼率為3.84M*2 = 7.68MBaud，帶寬5M，所以帶寬利用率為7.68MBaud/5MHz =

　　1.536Baud/Hz，略遜于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脈沖成型采用滾降系數(shù)為0.22的升余弦濾波器，奈奎斯特帶寬為3.84M】

　　章節(jié)三：用IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM

　　其實(shí)前兩章，我已經(jīng)將自己的理解盡數(shù)表達(dá)了：第一節(jié)是從時(shí)域上來(lái)說(shuō)子載波正交的原理;第二節(jié)是從頻域上來(lái)解釋子載波正交后，達(dá)到理想頻帶利用率的特性。想來(lái)，雖然前兩章寫得較長(zhǎng)【沒預(yù)料到會(huì)寫這么長(zhǎng)的...太長(zhǎng)了沒人看...】，但是應(yīng)該還是很簡(jiǎn)單、清晰、易懂的。

　　不過(guò)"小白"的卡殼，似乎并不在于最基本的正交原理和頻帶利用率上，反而是IFFT變換中，充斥的各種時(shí)域頻域角色變換讓其眼花繚亂。

　　個(gè)人覺得要理解IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM，最好的辦法還是看公式。比如第一章節(jié)中的公式1-1和公式1-2，配上時(shí)域波形圖的疊加，不要太好理解喲。當(dāng)然，這里的IFFT需要將時(shí)域離散化，因此公式

IFFT≈ IDFT -->

　　fn =1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n為時(shí)域離散后的序號(hào)，N為總的IFFT個(gè)數(shù)，n∈[1,N]】

　　關(guān)于公式3-1的理解方法，可以是這樣的。其中一種理解方式是聯(lián)系第一章節(jié)的公式1-2：可以發(fā)現(xiàn)公式3-1等號(hào)右側(cè)所表達(dá)的物理意義和公式1-2是相同的，均代表了不同子載波e(j·2π·k·n/N)發(fā)送各自的信號(hào)Fk，然后在時(shí)域上的疊加形成fn，只不過(guò)現(xiàn)在疊加出來(lái)的時(shí)域不是連續(xù)波形，而是離散的時(shí)序抽樣點(diǎn)。

　　另一種更容易，更可愛的理解方式是：在一個(gè)OFDM

　　symbol的時(shí)長(zhǎng)T內(nèi)，用N個(gè)子載波各自發(fā)送一個(gè)信號(hào)F(k)(k∈[1,N])，等效于直接在時(shí)域上連續(xù)發(fā)送fn(n∈[1,N])N個(gè)信號(hào)，每個(gè)信號(hào)發(fā)送T/N的時(shí)長(zhǎng)。

　　在IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM中，發(fā)送端添加了IFFT模塊、接收端添加了FFT模塊。IFFT模塊的功能相當(dāng)于說(shuō)：別麻煩發(fā)送N個(gè)子載波信號(hào)了，我直接算出你們?cè)诳罩袝?huì)疊加成啥樣子吧;FFT模塊的功能相當(dāng)于說(shuō)：別用老式的積分方法來(lái)去除其余的正交子載波了，我?guī)湍阋淮伟袾個(gè)攜帶信號(hào)全算出來(lái)吧。就是這樣，IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM的系統(tǒng)用"數(shù)學(xué)的方法"，在發(fā)送端計(jì)算信號(hào)的疊加波形，在接收端去除正交子載波，從而大大簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的復(fù)雜度。

　　圖八：用IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM。請(qǐng)自行對(duì)比圖七

　　最后說(shuō)一句："小白"乃"白富美"之"白"，非"一窮二白"之"白"也。

　　好吧，該結(jié)束了。再寫得長(zhǎng)了更沒人看了。

　　補(bǔ)充章節(jié)：從頻譜上來(lái)看正交性

　　本文最開始發(fā)表時(shí)是沒有這一段的，因?yàn)樵囊讶皇肿郧?，已將OFDM的原理說(shuō)的非常清楚到位了。然而，這一段的內(nèi)容卻是別的文章中講解OFDM時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的橋段，因此覺得還是有必要補(bǔ)充陳述一下自己的觀點(diǎn)。

　　【注：本小節(jié)為補(bǔ)充章節(jié)，與本文邏輯沒有必然聯(lián)系，可直接略過(guò)?！?/p>

　　從正文章節(jié)中，可以發(fā)現(xiàn)作者的思路：從時(shí)域角度講解子載波的正交性;從頻域角度講解OFDM的頻帶利用率。作者覺得這是最容易理解OFDM原理的方式。但是教材中、網(wǎng)絡(luò)上，還有一種非常主流的講解方式：從頻域上“直觀的”看待子載波的正交性。比如下面這個(gè)圖：

　　圖51：從OFDM頻譜看待正交性(本圖來(lái)自網(wǎng)絡(luò)，比我畫的圖好些，還有文字說(shuō)明)

　　這種觀點(diǎn)的說(shuō)法是：在每個(gè)子載波的抽樣點(diǎn)上，其它的子載波信號(hào)抽樣值均為0(即上圖中的subcarrier

　　Nulls對(duì)應(yīng)某個(gè)子載波的Subcarrier

　　Peak)。這種說(shuō)法在圖示上有非常醒目的直觀效果，所以是各教材講義中的常客，但是至少?gòu)淖髡叩慕嵌葋?lái)看，這種說(shuō)法在涉及到后面的解調(diào)信號(hào)時(shí)，將變得非常難以理解和說(shuō)明。所以本文最開始的版本中是沒打算寫本小節(jié)的。

　　如果你看到這里，覺得這種說(shuō)**中下懷，那么恭喜你。

　　如果你看到這里，覺得這種說(shuō)法已經(jīng)讓你的腦袋成了漿糊，那么可以回顧第一章節(jié)：時(shí)域上的正交性，然后繼續(xù)閱讀下面部分以解毒。

　　時(shí)域上的正交性和頻域上的正交性之間的關(guān)系該如何聯(lián)系起來(lái)呢?回顧前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區(qū)間[0,2π]上的積分為0】，推廣到更一般的情況是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)}在區(qū)間[0,

　　1/Δf]上正交(注：教材上一般寫為u(t)在[-T/2,T/2]區(qū)間上怎么怎么著，本文就用不著那么學(xué)術(shù)了)?？梢钥闯?，這里有一個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)Δf：它既是頻域上子載波的間距，又確定了時(shí)域上的信號(hào)傳輸時(shí)間。回顧時(shí)域頻域轉(zhuǎn)換圖：

　　圖52：同前面的圖21，時(shí)域波形和頻域的轉(zhuǎn)換

　　聯(lián)系上圖的時(shí)頻轉(zhuǎn)換，可以發(fā)現(xiàn)Δf既確定了子載波本身(即上圖中第一排的兩個(gè)圖)，又確定了待發(fā)信號(hào)的傳輸時(shí)間(即上圖中第二排的兩個(gè)圖中信號(hào)的寬度)，從而決定了信號(hào)頻譜的主瓣寬度以及旁瓣為0的位置。這也意味著，OFDM系統(tǒng)中一旦選定了子載波間隔，時(shí)域上的正交性以及頻域上的正交性也就順理成章的聯(lián)系起來(lái)了。如下圖：

　　圖53：同前面的圖23，兩路信號(hào)的間隔Δf，保證了時(shí)域上的正交性、確定了頻域上的旁瓣0點(diǎn)位置

　　其實(shí)對(duì)本作者而言，從頻譜上來(lái)看待OFDM的正交性有點(diǎn)顛倒因果的嫌疑。按我的理解：OFDM選用的正交子載波是因，頻譜中出現(xiàn)“其余子載波攜帶信號(hào)的旁瓣0點(diǎn)處于當(dāng)前子載波攜帶信號(hào)主瓣峰值處”的現(xiàn)象是果。以果推因，謬矣。