)圓群,進(jìn)一步把圓的半徑r 作為變量，在a-b 平面得到由不同半徑的圓CHi 構(gòu)成的圓環(huán)。在a-b-r 空間中建立三維數(shù)組，數(shù)組中元素 ai,bi,ri P 的值代表a-b 平面上通

　　過點(diǎn)(ai，bi)，半徑為ri 圓的個(gè)數(shù)。如果圖像中存在滿足方程(7-1)的圓，則

?

　　的值最大。即

?

　　(7-2)

　　因此，數(shù)組中最大值元素所對(duì)應(yīng)的參量(

?

　　)就是圖像中圓的中心和半徑。

　　(2) Hough 變換的改進(jìn)PHT 變換

　　上述變換方法雖然由使用廣泛，但是因?yàn)樗谌S空間內(nèi)搜索，計(jì)算復(fù)雜性較大，為此采用點(diǎn)Hough 變換，原理如圖6所示，設(shè)K，L，M為圓周上三點(diǎn)，由圓的幾何性質(zhì)可知，KL 的中垂線L(KL) 與LM 的中垂線L(LM)必然相交于圓C 的中心O。設(shè)K、L、M 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

?

　　、

?

　　、

?

　　，則L(KL) 和L(LM) 的方程分別為：

　　L(KL):

?

　　(7-3)

　　L(LM):

?

　　(7-4)

　　利用(7-3)和(7-4)式，計(jì)算出圓C 的圓心(

?

　　)和半徑

?

　　：

?

　　(7-5)

?

　　(7-6)

?

　　(7-7)

　　可見, 半徑ri，中心(

?

　　)的圓周上任意不共線的三點(diǎn)(以下稱為點(diǎn)組)對(duì)應(yīng)a-b-r 空間中一點(diǎn)(

?

　　)，所以我們稱之為點(diǎn)Hough 變換(Point Hough Transform)。

　　用向量

?

　　表示a-b-r 空間中的點(diǎn), 則圖像中圓(

?

　　)上的點(diǎn)組對(duì)應(yīng)于a-b-r 空間中的向量

?

　　。在圖像中選取N 個(gè)點(diǎn)組，得到包括

?

　　，N 組來自同一圓上的點(diǎn)組對(duì)應(yīng)的向量相同。向量組中不同編號(hào)的向量可能相同。向量組中出現(xiàn)次數(shù)最多的向量就是圖像中圓的參量。用數(shù)組P[n](n=0, …, N-1)，表示向量組中向量

?

　　出現(xiàn)的次數(shù)，則有：

?

　　，其中 if(

?

　　)，kk=1 else kk=0 (7-8)

　　確定數(shù)組P[n]后,就可以找出圖像中圓的參量值。

　　if

?

?

　　(7-9)

　　根據(jù)實(shí)際應(yīng)用，我們將式(7-8)中kk=1的條件改為

?

　　，

?

　　為一微小增量，更為符合實(shí)際應(yīng)用。

　　PHT 不需搜索變量空間，只對(duì)選取的點(diǎn)組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，計(jì)算復(fù)雜性決定于所選擇點(diǎn)組的數(shù)目。

　　PHT 過程包括兩個(gè)步驟：確定參量向量組和找向量組中出現(xiàn)頻率最大的向量。設(shè)選取的點(diǎn)組數(shù)為M，從上述分析可知, 過程的計(jì)算復(fù)雜度為O(M)，過程最大數(shù)組是3×M。對(duì)于CHT 過程, 設(shè)圖像中圓參量的取值范圍分別為A、B、R，邊緣點(diǎn)的數(shù)目為N。