傅里葉變換及諧波

輸出的是方波，顯示出的卻是正弦波或其他波形，這是為什么？

在正式揭開(kāi)謎團(tuán)之前，我們需要先明白方波是什么。先介紹一位老朋友 —— 傅里葉。傅里葉是19世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，是他提出了對(duì)后世影響極大的傅里葉變換，在多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

微積分，卷積，傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉矩陣，離散的連續(xù)的，周期的非周期的……傅里葉變換是讓無(wú)數(shù)學(xué)子頭疼的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，不過(guò)我們今天只需了解其物理意義。

通俗來(lái)講，傅里葉變換是：

任何一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)，都可以寫成是多個(gè)正弦函數(shù)的和。

從物理學(xué)角度來(lái)講，傅里葉變換是：

任何一個(gè)復(fù)雜的電磁波信號(hào)都可以由多個(gè)最基本的正弦波信號(hào)疊加組成。

綜上，可以說(shuō)方波也是由無(wú)數(shù)個(gè)正弦波組成的。

如下圖顯示，信號(hào)是一個(gè)方波，橫軸代表時(shí)間，豎軸代表幅度，而向頻率方向映射過(guò)去就得到了時(shí)域圖像：

傅里葉變換提到過(guò)，方波其實(shí)就是由基波再加上無(wú)數(shù)的正弦波共同構(gòu)成的，那么上圖中部這么多的正弦波其實(shí)就是基波、三次諧波、五次諧波以及最后的n次諧波。圖上豎軸代表幅度，縱軸代表頻率，向時(shí)間方向映射過(guò)去就得到了頻域圖像。

為了更好地理解，我們可以做個(gè)實(shí)驗(yàn)：使用SDG6000X任意波形發(fā)生器輸出一個(gè)5MHz的正弦波，使用SDS2000X Plus數(shù)字示波器的FFT功能后，它的頻譜圖只有一個(gè)峰值點(diǎn)處于5MHz處。

此時(shí)，我們直接將輸出的正弦波換成方波，從它的FFT頻譜圖可以看到有很多個(gè)峰值點(diǎn)，峰值分別處于5MHz, 15MHz, 25MHz……其實(shí)這就是我們剛才所說(shuō)的基波、三次諧波、五次諧波等。

方波為什么不方？

認(rèn)識(shí)到“方波是由無(wú)數(shù)個(gè)正弦波組成”這個(gè)本質(zhì)之后，我們繼續(xù)來(lái)探討“為什么方波不方”這個(gè)問(wèn)題。

在剛才的實(shí)驗(yàn)中曾經(jīng)多次提到一個(gè)詞 —— 諧波。三次諧波的頻率為基波的3倍，五次諧波為5倍，那么N次諧波則為N倍。既然方波是由無(wú)數(shù)的正弦波組成，那么諧波越多，方波的棱角就越方，顯示出來(lái)的波形就越接近于理想的方波。

· 示波器帶寬

怎么保證正弦波的數(shù)量足夠多呢？這就涉及到一個(gè)參數(shù) —— 示波器的帶寬。

當(dāng)方波被一定帶寬的示波器測(cè)量時(shí)，高于示波器帶寬的諧波就被示波器過(guò)濾掉了，基本上只留下低于帶寬的一些諧波；當(dāng)諧波少于一定數(shù)量時(shí)，方波的棱角就變得圓滑，甚至直接變成了正弦波。

使用一臺(tái)帶寬為500MHz的SDS2000X Plus數(shù)字示波器以及SDG6000X任意波形發(fā)生器，首先發(fā)出一個(gè)頻率為60MHz的方波，可以看到此時(shí)的波形雖然棱角不夠分明，但也能看出是個(gè)方波。

我們打開(kāi)200MHz帶寬限制，此時(shí)剛才所看到的棱角直接變得圓滑了起來(lái)， 形狀偏向正弦波更多一些。

經(jīng)過(guò)剛才的試驗(yàn)，我們已經(jīng)確定了影響方波還原的一個(gè)重要指標(biāo)就是示波器的帶寬，有時(shí)為了能夠完美還原方波，甚至需要示波器帶寬在方波頻率的10倍以上。

· 探頭帶寬

需要注意的是，在測(cè)量時(shí)我們有時(shí)需要用到探頭，當(dāng)探頭與示波器相連時(shí)就組成了一個(gè)系統(tǒng)。根據(jù)短板原理，一只木桶盛水的多少，并不取決于桶壁上最高的那塊木塊，而恰恰取決于桶壁上最短的那塊，所以即使示波器能夠滿足方波的需求，而探頭達(dá)不到要求也無(wú)法還原出一個(gè)完美的方波。

這就引出了影響還原方波的第二個(gè)要素 —— 探頭的帶寬。

· 探頭校準(zhǔn)

既然提到了探頭的帶寬影響，就不得不提到“萬(wàn)惡之源”：探頭的校準(zhǔn)。

在實(shí)際使用過(guò)程中，示波器探頭的準(zhǔn)確度會(huì)因?yàn)殚L(zhǎng)時(shí)間使用、物理?yè)p耗等原因下降，對(duì)測(cè)試結(jié)果產(chǎn)生誤差。為了保證測(cè)試結(jié)果的準(zhǔn)確性，需要對(duì)示波器探頭進(jìn)行校準(zhǔn)。

首先，將示波器的輸入選擇打到直流耦合上，并將示波器探頭接地夾與示波器地端相連，探頭掛鉤與示波器校準(zhǔn)信號(hào)補(bǔ)償端相連（一般示波器都會(huì)帶有補(bǔ)償端），通常是1KHz的方波信號(hào)。然后調(diào)節(jié)水平時(shí)基旋鈕，使波形能夠清晰地顯示在屏幕上，觀察方波的上下兩邊是否水平。

如果出現(xiàn)過(guò)沖的現(xiàn)象，則需要調(diào)節(jié)探頭上的匹配電容，此時(shí)就需要用小螺絲刀進(jìn)行調(diào)節(jié)，直至波形上下兩邊處于水平狀態(tài)。

· 信號(hào)問(wèn)題

那么說(shuō)完了示波器和探頭的影響，還有一種可能是信號(hào)本身出了問(wèn)題。

作為一個(gè)理想的，優(yōu)秀的方波，應(yīng)該只有“高”和“低”這兩個(gè)值，這兩個(gè)值之間應(yīng)當(dāng)是瞬時(shí)變化的，但是實(shí)際上由于物理局限性，這種情況并不可能實(shí)現(xiàn)。

信號(hào)從最低值上升到最高值然后再下降所花費(fèi)的時(shí)間分別稱為脈沖上升時(shí)間和脈沖衰減時(shí)間。當(dāng)上升或衰減時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，方波本身就變得不那么理想，我們又怎么能夠在示波器上看到理想的方波呢？

使用SDS2000X Plus數(shù)字示波器以及SDG6000X任意波形發(fā)生器進(jìn)行測(cè)試，SDS2000X Plus數(shù)字示波器本身的上升時(shí)間為0.8ns。需要注意的是，我們所設(shè)置的方波的上升時(shí)間必須大于示波器的上升時(shí)間，否則就沒(méi)有意義了。

首先我們?cè)O(shè)置一個(gè)方波，將它的頻率設(shè)置為1MHz，脈寬為600ns，上升時(shí)間為10ns，然后輸出信號(hào)，現(xiàn)在示波器所顯示的是較為理想的方波。

然后保持其他條件不變，逐漸增加其上升時(shí)間，可以看到方波原先的棱角慢慢變得圓潤(rùn)了起來(lái)。

· 視覺(jué)效果

再換個(gè)角度來(lái)思考，如果一個(gè)方波它的上升時(shí)間足夠短，但是脈寬很小，雖然本質(zhì)上講是一個(gè)比較理想的方波，從視覺(jué)上來(lái)看仍然是這樣嗎？

我們來(lái)看看實(shí)際效果。將剛才所設(shè)置的600ns脈寬減小至60ns，此時(shí)信號(hào)源輸出的信號(hào)是一個(gè)上升時(shí)間為10ns，脈寬為60ns的方波。

為了讓波形更加清晰，我們減小示波器的水平時(shí)基。隨著波形被放大，上升時(shí)間所在的這段波形也被放大，慢慢地從視覺(jué)效果上看，方波發(fā)生了形變。

總結(jié)

方波是由基波再加上無(wú)數(shù)的正弦波共同構(gòu)成的，而方波不方在測(cè)試測(cè)量中是一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題。本文整理了5個(gè)主要因素，分別是示波器的帶寬、探頭的帶寬、探頭未校準(zhǔn)、方波的上升/衰減時(shí)間過(guò)長(zhǎng)以及視覺(jué)效果影響。