1.3.5國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

同類(lèi)課題所研究的技術(shù)基本上被國(guó)外所壟斷，國(guó)內(nèi)尚未有人提出，國(guó)內(nèi)現(xiàn)在所使用的技術(shù)是利用PC機(jī)上軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的重構(gòu)，所需時(shí)間較長(zhǎng)，如果用FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)的話(huà)，速度可以提高數(shù)十乃至上百倍。

1.4研究背景及意義

在當(dāng)今社會(huì)大力發(fā)展醫(yī)療衛(wèi)生條件的背景下，許多醫(yī)院迫切需要先進(jìn)的CT來(lái)為患者診斷病情，現(xiàn)在的CT技術(shù)被國(guó)外所壟斷，設(shè)備也都在200萬(wàn)以上，只有極少數(shù)醫(yī)院有能力配備，所以急需研發(fā)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的產(chǎn)品，把價(jià)格控制在50萬(wàn)以?xún)?nèi)。CT的關(guān)鍵技術(shù)之一是快速斷層圖像重建技術(shù)，本課題的立足點(diǎn)就在于利用FPGA的高度并行性，實(shí)現(xiàn)CT斷層圖像重建算法，滿(mǎn)足實(shí)際產(chǎn)品速度要求，為實(shí)現(xiàn)CT國(guó)產(chǎn)化準(zhǔn)備，推動(dòng)社會(huì)醫(yī)療衛(wèi)生條件的發(fā)展。

第二章 濾波反投影算法

2.1 濾波反投影算法介紹

盡管傅里葉切片定理提供了斷層成像重建的一個(gè)直接方案，在真正實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，它提出了一些難題。首先，傅里葉空間中產(chǎn)生的采樣模式不是笛卡兒坐標(biāo)的。傅里葉切片定理說(shuō)明一次投影的傅里葉變換是二維傅里葉空間中通過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)。結(jié)果，不同投影采樣落到極坐標(biāo)柵格上。為了執(zhí)行二維傅里葉變換，這些采樣不得不被插值或重新柵格化到一個(gè)笛卡兒坐標(biāo)中。二維頻率域中的插值不像真實(shí)空間中的插值一樣直接。在真實(shí)空間里，一個(gè)插值誤差局限于像素所在的小區(qū)域。然而，對(duì)于頻域插值，這個(gè)特性不再有效，因?yàn)槎S傅里葉空間中每個(gè)采樣表示某一個(gè)空間頻域(在水平和垂直方向上)。于是，在傅里葉空間中一個(gè)單獨(dú)采樣點(diǎn)上產(chǎn)生的誤差會(huì)影響整個(gè)圖像(經(jīng)過(guò)傅里葉反變換后)的外貌。為闡明傅里葉域插值的敏感性，進(jìn)行下面的簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)。掃描一個(gè)肩部模體，并在512×512矩陣中重建，矩陣用f(x,y)表示，其中x=0，1，…512，y= 0，1，…，512。下一步，執(zhí)行圖像的二維離散傅里葉變換，得到一個(gè)函數(shù)F(u,v)，其中u=0，1，…，511，v=0，1，…，511。注意F(u,v)是一個(gè)512×512復(fù)數(shù)矩陣。在該矩陣中，F(xiàn)(00)代表圖像的直流成分。如果簡(jiǎn)單地進(jìn)行函數(shù)F(u,v)的離散傅里葉反變換，將得到原始圖像f(x,y)。注意函數(shù)F(u,v)是我們?cè)噲D采用平行投影進(jìn)行估計(jì)的量值(傅里葉切片定理)。

直接傅里葉域重建的另一缺點(diǎn)是進(jìn)行目標(biāo)重建的困難性。目標(biāo)重建是在CT中常用的技術(shù)，用來(lái)檢查物體中一個(gè)小區(qū)域的精密細(xì)節(jié)。如果能以某種方式把重建“聚焦”在感興趣區(qū)，物體的細(xì)節(jié)就可以更好地顯現(xiàn)。采用直接傅里葉重建方法，需要用大量的0填充F(u,v)，以進(jìn)行必要的頻率域插值。傅里葉反變換的大小和目標(biāo)ROI的尺寸成反比。對(duì)非常小的ROI，矩陣尺寸龐大以至無(wú)法管理。盡管其他技術(shù)可以用來(lái)克服其中一些困難，這些技術(shù)的實(shí)現(xiàn)仍不直截了當(dāng)。因此，必須研究傅里葉切片定理的替代實(shí)現(xiàn)方法。濾波反投影算法是目前得到廣泛應(yīng)用的基于變換法的圖像重建算法，它具有重建速度快、空間和密度分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是對(duì)投影數(shù)據(jù)的完備性要求較高[7]，從數(shù)學(xué)上講，只有獲得被檢試件所有的Radon變換數(shù)據(jù)(完全投影數(shù)據(jù))后才能精確重建其切片圖像。

2.2 濾波反投影算法公式的推導(dǎo)

我們從傅里葉變換和傅里葉反變換是共扼算子這一眾所周知的事實(shí)開(kāi)始。圖像函數(shù)f(x,y)可以通過(guò)傅里葉反變換從它的傅里葉變換F(u,v)中恢復(fù)，

(2.1)

與推導(dǎo)傅里葉切片定理時(shí)進(jìn)行的坐標(biāo)變換類(lèi)似，我們從笛卡兒直角坐標(biāo)(u,v)轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)

。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的目的是以更自然的數(shù)據(jù)采集形式表達(dá)數(shù)值F(u,v)。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換如下：

，

， (2.2)

和

(2.3)

將等式(2.2)和(2.3)帶入到(3.1)，得到

(2.4)

利用公式

中描述的傅里葉切片定理，我們用代替，建立如下關(guān)系：

(2.5)

.

對(duì)于平行采樣幾何束，在投影采樣中存在一個(gè)微妙的對(duì)稱(chēng)性：

(2.6)

通過(guò)研究一組相差180°的平行束的采樣幾何，這個(gè)特性可以很容易理解。兩組投影正好代表同一組射線(xiàn)路徑?；诟道锶~變換的特性，對(duì)于相應(yīng)的傅里葉變換對(duì)來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)簡(jiǎn)單關(guān)系：

(2.7)

將等式(2.7)代入等式(2.5)，我們得到下面等式：

(2.8)

通過(guò)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(s,t)中表達(dá)上面的等式，并利用等式：

.

中指出的關(guān)系，我們得到下面等式：

. (2.9)

這里，是在角度投影的傅里葉變換。內(nèi)部積分是數(shù)值的傅里葉反變換。在空間域，它代表一個(gè)經(jīng)頻域響應(yīng)為的函數(shù)濾波后的投影。我們稱(chēng)之為“濾波投影”。

如果用標(biāo)記等式(2.9)的內(nèi)部積分所代表的角上的濾波投影：

. (2.10)

等式(2.8)可以下面形式重寫(xiě)

(2.11)

變量是從點(diǎn)(x,y)到一條通過(guò)坐標(biāo)系原點(diǎn)，并與x軸成角的直線(xiàn)的距離。等式(2.11)說(shuō)明，重建圖像f(x,y)在位置(x,y)，是通過(guò)該點(diǎn)的所有濾波投影采樣的累加。另外，我們還可以選擇關(guān)注一個(gè)特定濾波投影采樣，研究它對(duì)重建圖像的貢獻(xiàn)。因?yàn)?img src="http://uphotos.eepw.com.cn/fetch/20180719/387976_2_27.jpg" onload="if(this.width>620)this.width=620;" onclick="window.open(this.src)" style="cursor:pointer" />代表與產(chǎn)生投影采樣的射線(xiàn)路徑重疊的一條直線(xiàn)，的強(qiáng)度沿著直線(xiàn)均勻地加到重建圖像。結(jié)果，濾波投影采樣的值沿著整個(gè)直線(xiàn)路徑被“涂抹”或“疊加”。

我們還可以給出濾波反投影方法的一個(gè)直觀(guān)解釋?；诟道锶~切片定理，物體的二維傅里葉變換是通過(guò)將許多一維傅里葉變換拼起來(lái)得到的。理論上，如果假定一次投影的傅里葉變換形狀像一個(gè)切成薄片的“派”，我們可以簡(jiǎn)單地把每個(gè)楔子插入適當(dāng)位置，以得到物體的一個(gè)二維傅里葉變換。不幸的是，每個(gè)投影傅里葉變換形狀類(lèi)似在頻率空間的一個(gè)長(zhǎng)條。如果簡(jiǎn)單地計(jì)算所有投影傅里葉變換的和(假設(shè)在角度上等間隔)，中心區(qū)域被人為地增強(qiáng)，而外側(cè)區(qū)域數(shù)值不足。為了用條形區(qū)域估計(jì)“派”狀區(qū)域，我們可以給條形傅里葉變換乘以一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)在靠近中心位置強(qiáng)度低，靠近邊緣時(shí)強(qiáng)度高。例如，可以將投影的傅里葉變換與該頻率處“派”狀楔子的寬度相乘。如果假設(shè)N個(gè)投影在180°內(nèi)均勻間隔，每個(gè)楔子的寬度在頻率是。權(quán)重函數(shù)的最終作用是加權(quán)長(zhǎng)條的累加與“派”狀楔子的累加具有相同的“質(zhì)量”。[8]