RS糾錯編碼是目前最有效、應用最廣泛的差錯控制編碼之一，是一種糾錯能力很強的多進制BCH碼，也是一類典型的代數(shù)幾何碼。它是由里德(Reed)和索洛蒙(Solomon)應用MS多項式于1960年首先構(gòu)造出來的。

RS碼被廣泛用于差錯控制系統(tǒng)中，以提高數(shù)據(jù)的可靠性，而且可以用來構(gòu)造其他碼類，如級聯(lián)碼。在無線通信、衛(wèi)星通信、磁或光存儲以及網(wǎng)絡通信中RS碼也有較為廣泛的應用。RS碼不僅具有良好的隨機糾錯和突發(fā)糾錯能力，而且有低復雜度的編譯碼算法，因此被國際電信聯(lián)盟(ITU)推薦為光纖子系統(tǒng)的前向糾錯(FEC)碼。RS(225，223)碼被CCSDS選為常規(guī)分包遙測信道糾錯編碼和高級在軌系統(tǒng)前向和反向鏈路的糾錯編碼，是實現(xiàn)CCSDS標準低差錯率信道糾錯編碼的關鍵部件。只要每個碼字(255個符號)中出現(xiàn)的錯誤不超過16個符號，它就能將其糾正。

近年來，關于RS(255，223)碼譯碼器實現(xiàn)的算法得到了廣泛的關注，但是這些算法的實現(xiàn)速度都不太快，即便有速度稍高的，其占用硬件資源也較多，而一些占用硬件資源較少的算法速度卻很慢。本文采用基于ME算法的8倍并行設計方案，結(jié)合流水線技術，克服了上述算法的缺陷，利用盡可能少的硬件資源獲得了極高的譯碼速度。

1 RS(255，223)碼及其譯碼原理

1.1 RS(255，223)碼

因其碼元取自GF(q)，RS編解碼過程中的所有運算都是在GF(q)的有限域上面進行。RS(n，k)碼的編碼過程是將k個輸入信息碼字，用生成多項式產(chǎn)生(n，k)個冗余的糾錯信息碼字，與原碼字合成形成n個信息碼字進行傳輸。譯碼是在接收端，對接收的n個碼字信息進行糾錯處理，恢復k個信息碼字。對于1個長度為am-1符號的RS碼，每個碼字都可以看成是有限域GF(am)中的1個元素。最小碼距為d的碼字，其RS碼生成多項式具有如下形式：

其中ai是GF(am)中的1個元素。

對于RS(255，223)碼而言，q=256，a=2，碼字符號在GF(28)中。m=8，是每個RS符號的碼元數(shù)；n=28-1，是每個RS碼字的符號數(shù)；k=223，是RS碼中信息位的符號數(shù)；t=16，是RS碼字內(nèi)符號的糾錯能力；d=33，是最小碼距。

1.2 RS(255，223)碼譯碼原理

由于RS碼為分組碼，故其譯碼算法主要由伴隨式計算、關鍵方程求解和錢搜索和Forney算法3部分構(gòu)成，譯碼器結(jié)構(gòu)如圖1所示。

首先，根據(jù)接收碼字乘以校驗矩陣得到其伴隨多項式，對于RS(225，223)碼，其伴隨式求解式可以表示為：

求得伴隨式以后，則利用伴隨多項式求解關鍵方程：錯誤位置多項式σ(x)和錯誤特征多項式ω(x)，如下所示：

求解關鍵方程現(xiàn)可采用的算法主要有BM(Belekamp-Messey)算法和ME(Modified Euclidean)算法。之后便得到錯誤位置多項式σ(x)與錯誤特征多項式ω(x)。

此后，由錯誤位置多項式與錯誤特征多項式來求得錯誤位置與錯誤值。求解錯誤位置本設計采用窮舉算法——錢搜索算法來完成。同時，使用Forney公式求得錯誤值。最后，用延時后的接收值減去錯誤值，得到最后的譯碼輸出。Forney公式可以表示為：

其中，ei代表發(fā)生在i位置上的錯誤值，σodd(x)代表錯誤位置多項式奇數(shù)次項之和。

2并行流水結(jié)構(gòu)方案

本設計采用8倍并行流水方案。將255個碼元8倍并行后，只需要32個周期便完成所有32個伴隨多項式系數(shù)的求解。然后將32個伴隨多項式系數(shù)順序輸出到下一級，在此基礎上采用流水線結(jié)構(gòu)，周期剛好滿足且不會浪費資源。本設計中所有乘法器都是采用GF(28)有限域乘法器。

2.1 伴隨式計算

8倍并行伴隨多項式的求解算法，是在迭代算法的基礎上展開實現(xiàn)，其推導過程如下：

式(6)中，R255=0；i=1，2，…，2t-1，2t。其電路結(jié)構(gòu)如圖2所示。


2.2 關鍵方程求解

本設計中關鍵方程的求解采用ME算法。BM算法具有反饋結(jié)構(gòu)，不適合使用流水結(jié)構(gòu)，而ME算法可采用流水結(jié)構(gòu)。其算法描述如下：

其中，S(x)為輸入的伴隨多項式。

ME算法為1種迭代算法，目的在于求i階余式Ri(x)，相應的多項式ri(x)與Li(x)滿足：

ri(x)A(x)+Li(x)S(x)=Ri(x)(8)

當i階余式Ri(x)的階數(shù)小于t時，迭代算法結(jié)束。算法結(jié)束時的Ri(x)即為錯誤特征多項式ω(x)，而Li(x) 即為所求的錯誤位置多項式δ(x)。

ME算法在每一次迭代時進行的運算為：

具體推導請見參考文獻[8-9]。

單級迭代電路結(jié)構(gòu)如圖3所示。

由ME算法推導可知，使用脈動電路結(jié)構(gòu)實現(xiàn)ME算法時，至多使用2級迭代電路即可降低R(x)多項式階數(shù)1階。因此，脈動電路結(jié)構(gòu)采用32階流水結(jié)構(gòu)電路即可保證迭代算法完成收斂得到最后結(jié)果。電路結(jié)構(gòu)如圖4所示。

2.3 錢搜索和Forney算法

錢搜索模塊接收KES模塊的錯誤位置多項式信號δ(x)，利用錢搜索算法逐個檢查符號位是否發(fā)生錯誤，輸出錯誤位置和錯誤位置多項式的奇數(shù)項之和，供EE模塊計算錯誤圖案和糾錯。

設錯誤位置多項式δ(x)可以表達為奇數(shù)項和偶數(shù)項之和：

并行錢搜索電路子結(jié)構(gòu)如圖5所示。圖中m表示并行模塊編號數(shù)，m=1，2，…，8。所有的乘法器均是常數(shù)乘法器，8倍并行結(jié)構(gòu)由圖5所示的8個同樣的結(jié)構(gòu)組成。

EE(錯誤值計算)模塊根據(jù)CS模塊輸出的δodd(x)以及KES模塊輸出的ω(x)計算出錯誤圖案。

EE模塊需要求解w(ai)，電路結(jié)構(gòu)推導過程和求解δ(ai)的過程一樣，電路結(jié)構(gòu)也基本相同，這里不再累述。

3 仿真驗證與綜合

上述譯碼器采用自頂向下的設計流程劃分模塊，用Verilog HDL完成RTL代碼的編寫，然后在Mentor公司的ModelSim SE 6.1b仿真驗證工具下編寫測試代碼進行仿真驗證。仿真結(jié)果如圖6所示，譯碼器能正確實現(xiàn)譯碼功能。

因本譯碼器可糾正16個錯誤，超過16個錯誤便不可糾正，在仿真時譯碼輸入樣本采用了2種：一種樣本不超過16個錯誤，另一種樣本超過16個錯誤。仿真結(jié)果表明，此譯碼器能在不超過16個錯誤的樣本下正常譯碼。

譯碼器在Quartus II 8.0上進行綜合和優(yōu)化，采用Altera公司Cyclone系列的EP2C15AF256C8芯片為目標器件。譯碼器的工作時鐘頻率可達85 MHz，數(shù)據(jù)吞吐率可達5 440 Mb／s，占用邏輯單元數(shù)為13 947個(片內(nèi)共14 448，占用率為97％)，RAM占用16 698位(片內(nèi)共239 616位，占用率為7％)。譯碼器性能對比如表1所列。

與參考文獻[4]相比，由于本譯碼器采用了并行結(jié)構(gòu)在增加了不到3倍的硬件資源的情況下，吞吐率時鐘比(吞吐率／時鐘)提高了8倍，而且縮短了3／4的澤碼延遲。與參考文獻[5]相比，本文所采用的譯碼器增加了不到3倍的硬件資源，提高了8倍的吞吐率時鐘比。由于參考文獻[5]采用串行譯碼結(jié)構(gòu)，本文所采用的并行流水譯碼結(jié)構(gòu)較串行譯碼結(jié)構(gòu)縮減了19／20的譯碼延遲。