這是《小波變換和motion信號(hào)處理》系列的第二篇，深入小波。第一篇我進(jìn)行了基礎(chǔ)知識(shí)的鋪墊，第三篇主要講解應(yīng)用。

在上一篇中講到，每個(gè)小波變換都會(huì)有一個(gè)mother wavelet，我們稱之為母小波，同時(shí)還有一個(gè)father wavelet，就是scaling function。而該小波的basis函數(shù)其實(shí)就是對(duì)這個(gè)母小波和父小波縮放和平移形成的。縮放倍數(shù)都是2的級(jí)數(shù)，平移的大小和當(dāng)前其縮放的程度有關(guān)。

還講到，小波系統(tǒng)有很多種，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展開的近似形式是這樣：

其中的

就是小波級(jí)數(shù)，這些級(jí)數(shù)的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級(jí)數(shù)有一點(diǎn)不同的是，小波級(jí)數(shù)通常是orthonormal basis，也就是說(shuō)，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。

我們還講了一般小波變換的三個(gè)特點(diǎn)，就是小波級(jí)數(shù)是二維的，能定位時(shí)域和頻域，計(jì)算很快。但我們并沒有深入講解，比如，如何理解這個(gè)二維?它是如何同時(shí)定位頻域和時(shí)域的?

在這一篇文章里，我們就來(lái)討論一下這些特性背后的原理。

首先，我們一直都在講小波展開的近似形式。那什么是完整形式呢?之前講到，小波basis的形成，是基于基本的小波函數(shù)，也就是母小波來(lái)做縮放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在構(gòu)建小波基函數(shù)集合的時(shí)候，通常還要用到一個(gè)函數(shù)叫尺度函數(shù)，scaling function，人們通常都稱其為父小波。它和母小波一樣，也是歸一化了，而且它還需要滿足一個(gè)性質(zhì)，就是它和對(duì)自己本身周期平移的函數(shù)兩兩正交：

另外，為了方便處理，父小波和母小波也需要是正交的。可以說(shuō)，完整的小波展開就是由母小波和父小波共同定義的。

其中

是母小波，

是父小波。需要提醒一點(diǎn)的是，這個(gè)正交純粹是為了小波分析的方便而引入的特性，并不是說(shuō)小波變換的基就一定必須是正交的。但大部分小波變換的基確實(shí)是正交的，所以本文就直接默認(rèn)正交為小波變換的主要性質(zhì)之一了。引入這個(gè)父小波呢，主要是為了方便做多解析度分析(multiresolution analysis, MRA)。說(shuō)到這里，你的問題可能會(huì)井噴了：好好的為什么出來(lái)一個(gè)父小波呢?這個(gè)scaling function是拿來(lái)干嘛的?它背后的物理意義是什么?wavelet function背后的物理意義又是什么?這個(gè)多解析度分析又是什么呢?不急，下面，我們圍繞一個(gè)例子來(lái)鞏固一下前面的知識(shí)，同時(shí)再引出新的特性。

假設(shè)我們有這樣一個(gè)信號(hào)：

該信號(hào)長(zhǎng)度為8，是離散的一維信號(hào)。我們要考慮的，就是如何用小波將其展開。為了方便講解，我們考慮最簡(jiǎn)單的一種小波，哈爾小波。下面是它的一種母小波：

那如何構(gòu)建基于這個(gè)母小波的基呢?剛才提到了，要縮放，要平移。我們先試試縮放，那就是ψ(2n)：

但這樣的話，它與自己的內(nèi)積就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我們要在前面加一個(gè)系數(shù)根號(hào)二，這樣我們就得到了另一個(gè)哈爾小波的basis function：

同理，我們可以一直這樣推廣下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis function。當(dāng)然在這個(gè)例子里，我們信號(hào)長(zhǎng)度就是8，所以做到4n就夠了。但推廣來(lái)說(shuō)，就是這種scaling對(duì)母小波的作用為

，這是歸一化后的表示形式。

平移的話也很簡(jiǎn)單，我們可以對(duì)母小波進(jìn)行平移，也可以對(duì)scale之后的basis function進(jìn)行平移。比如對(duì)上一幅圖中的basis function進(jìn)行平移，就成了

看得出來(lái)，平移后的basis function和母小波以及僅僅scale過(guò)的小波，都是正交的，附合小波basis的特點(diǎn)。如果我們用ψ(n)來(lái)表示這個(gè)mother wavelet，那么這些orthonormal basis函數(shù)可以寫成：

這里的k是可以看成時(shí)域的參數(shù)，因?yàn)樗刂浦〔ɑ鶗r(shí)域的轉(zhuǎn)移，而j是頻域的參數(shù)，因?yàn)樗鼪Q定了小波基的頻率特性?？吹竭@里，你應(yīng)該會(huì)感覺很熟悉，因?yàn)檫@里的平移和變換本質(zhì)和剛才對(duì)scaling function的平移變換是一模一樣的。

這樣，我們就有了針對(duì)此信號(hào)space的哈爾小波basis組合：

圖1

可以看出，我們用到了三層頻率尺度的小波函數(shù)，每往下一層，小波的數(shù)量都是上面一層的兩倍。在圖中，每一個(gè)小波基函數(shù)的表達(dá)形式都寫在了波形的下面。

等等，你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，有問題。這里為什么多了個(gè)沒有函數(shù)表達(dá)式的波形呢?這貨明顯不是wavelet function阿。沒錯(cuò)，它是之前提到的scaling function，也就是父小波。然后你可能就會(huì)問，為啥這個(gè)憑空插了一個(gè)scaling function出來(lái)呢?明明目標(biāo)信號(hào)已經(jīng)可以用純的小波基組合表示了。是，確實(shí)是，就算不包括scaling function，這些小波函數(shù)本身也組成了正交歸一基，但如果僅限于此的話，小波變換也就沒那么神奇的功效了。引入這個(gè)scaling function，才能引入我們提到的多解析度分析的理論，而小波變換的強(qiáng)大，就體現(xiàn)在這個(gè)多解析度上。那在這里，我們?cè)趺从眠@個(gè)多解析度呢?這個(gè)哈爾小波basis組合是怎么通過(guò)多解析度推導(dǎo)出來(lái)的呢?

話說(shuō)在數(shù)學(xué)定義中，有一種空間叫Lebesgue空間，對(duì)于信號(hào)處理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可積函數(shù)所組成的函數(shù)空間。我們?cè)谛〔ㄗ儞Q中要研究的信號(hào)都是屬于L^2(R)空間的，這個(gè)空間是R上的所有處處平方可積的可測(cè)函數(shù)的集合，這樣就等于對(duì)信號(hào)提出了一個(gè)限制，就是信號(hào)能量必須是有限的，否則它就不可積了。小波變換的定義都是基于但不限于L^2(R)中的信號(hào)的。這玩意的特性要具體解釋起來(lái)太數(shù)學(xué)了，牽涉到太多泛函知識(shí)，我就不在這里詳述了。而且老實(shí)說(shuō)我也沒能力完全講清楚，畢竟不是學(xué)這個(gè)的，有興趣可以參考wiki?？傊阌涀?，小波變換研究中所使用的信號(hào)基本都是平方可積的信號(hào)，但其應(yīng)用不限于這種信號(hào)，就行了。

對(duì)L^2(R)空間做MRA是在干嘛呢?就是說(shuō)，在L^2(R)空間中，我們可以找出一個(gè)嵌套的空間序列

，并有下列性質(zhì)：

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v) 有這樣一個(gè)方程

,

是

的orthonormal basis。

我來(lái)簡(jiǎn)單解釋一下這些性質(zhì)。這個(gè)V_j都是L^2(R)空間中的子空間，然后他們是由小到大的，交集是{0}，因?yàn)檫@是最小的子空間，并集就是L空間。是不是有點(diǎn)難以理解?沒關(guān)系，看看下面這個(gè)圖就清楚了：

這個(gè)圖是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分別是V1，V2，V3，V4 。那他們有趣的性質(zhì)就是，假如有一個(gè)函數(shù)f(t)他屬于一個(gè)某空間，那你將其在時(shí)域上平移，它還是屬于這個(gè)空間。但如果你對(duì)它頻域的放大或縮小，它就會(huì)相應(yīng)移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。

同時(shí)我們還知道，你要形容每一個(gè)空間的話，都需要有對(duì)應(yīng)的orthonormal basis，這是必然的，那對(duì)于V0來(lái)講，它的orthonormal basis就是

這一系列函數(shù)是什么呢?是

的時(shí)域變換，而且我們剛才也說(shuō)了，時(shí)域上平移，是不會(huì)跳出這個(gè)空間的。這樣，我們就可以說(shuō)，由這一系列basis所定義的L^2(R)子空間V0被這些basis所span，表示成：

k從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。上面的bar表示這是一個(gè)閉包空間，也就是說(shuō)

這樣，我們就定義了基本的V0這個(gè)子空間。剛才說(shuō)了，這個(gè)子空間的基都是對(duì)

的整數(shù)時(shí)域變換，這里我們稱

為scaling function，所以換個(gè)說(shuō)法，就是說(shuō)這里整個(gè)子空間V0，由scaling function和其時(shí)域變換的兄弟們span。

當(dāng)然，如果這個(gè)scaling function只是用來(lái)代表一個(gè)子空間的，那它的地位也就不會(huì)這么重要了。剛才我們提到，這個(gè)嵌套空間序列有一個(gè)性質(zhì)，

。這就是這個(gè)函數(shù)，如果你對(duì)它頻域的放大或縮小，它就會(huì)相應(yīng)移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。這個(gè)性質(zhì)就有意思了，它代表什么呢?對(duì)于任何一個(gè)包含V0的更上一層的空間來(lái)講，他們的基都可以通過(guò)對(duì)scaling function做頻域的scale后再做時(shí)域上的整數(shù)變換得到!推廣開來(lái)就是說(shuō)，當(dāng)

我們有

這也就意味著，對(duì)于任何屬于V_j空間的函數(shù)f(t)，都可以表示為：

到這里，我們就明白這些個(gè)子空間和那個(gè)憑空冒出來(lái)的scaling function的作用了。scaling的構(gòu)建這些不同的子空間的基礎(chǔ)，當(dāng)j越大的時(shí)候，每一次你對(duì)頻率變換后的scaling function所做的時(shí)域上的整數(shù)平移幅度會(huì)越小，這樣在這個(gè)j子空間里面得到的f(t)表示粒度會(huì)很細(xì)，細(xì)節(jié)展現(xiàn)很多。反之亦然。通俗點(diǎn)說(shuō)，就是對(duì)scaling function的變換平移給你不同的子空間，而不同的子空間給你不同的分辨率，這樣你就可以用不同的分辨率去看目標(biāo)信號(hào)。

下面就是時(shí)候看看什么是MRA equation了，這是更加有趣，也是更加核心的地方。通過(guò)剛才的講解，V0屬于V1，那scaling function

是在V0中的，自然也在V1中了。我們把他寫成V1的基的線性組合，那就是

其中的h(n)是scaling function的系數(shù)，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。根號(hào)2是為了維持norm為1的。看，在這個(gè)公式里，我們就把屬于V0的函數(shù)用V1的基表示出來(lái)了。同理