超聲傳感器S放在距裂紋中心線(xiàn)高度為R的上方（圖-1）。在超聲測(cè)量時(shí)，超聲傳感器向裂紋發(fā)射超聲波，設(shè)發(fā)射的超聲波是頻率為其中心頻率的純頻波，具有以下的形式： (3)
式中，Α0 是信號(hào)幅值；ω0 是超聲波中心頻率。

圖-1 分形微裂紋幾何示意圖

事實(shí)上，測(cè)試中用到的超聲波往往是脈沖波，所以，在研究中采用連續(xù)波被高斯函數(shù)調(diào)制的形式，有以下的表達(dá)式：
(4)
式中，g(t)是零均值的高斯函數(shù)，可表示如下：
(5)
實(shí)測(cè)中，把超聲傳感器S當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)源，向外發(fā)射球面脈沖波。當(dāng)點(diǎn)源S與裂紋間的距離r 遠(yuǎn)大于超聲傳感器的晶片直徑d (r>>d)時(shí)，裂紋上一點(diǎn)在時(shí)刻 t 接收到的超聲波為：
(6)
式中， c 超聲波的傳播速度。

當(dāng)超聲波到達(dá)裂紋表面時(shí)，在裂紋表面產(chǎn)生散射。目前還沒(méi)有確切地算法可用來(lái)計(jì)算超聲波的散射回波聲場(chǎng)。在研究中，我們把它當(dāng)作二次點(diǎn)源，向外輻射球面波。我們將利用基爾霍夫近似來(lái)計(jì)算由裂紋散射的超聲回波。此時(shí)，超聲回波可看作由裂紋表面上的二次點(diǎn)源輻射的球面波的合成，并假設(shè)超出超聲波照射范圍的裂紋上的點(diǎn)沒(méi)有聲波的散射，散射回波是關(guān)于超聲傳感器所在的位置的中心線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的，在計(jì)算超聲回波時(shí)，忽略裂紋上的多次散射回波，不計(jì)裂紋上沒(méi)有被直接照射的點(diǎn)的超聲回波，并且認(rèn)為裂紋都是近軸分布的，我們可以得到下面的超聲回波的表達(dá)式：
(7)
式中， 是超聲傳感器與裂紋上點(diǎn)的距離。
是超聲傳感器到裂紋中心線(xiàn)的垂直距離。
是超聲傳感器中心線(xiàn)到超聲最大照射范圍的單邊長(zhǎng)度。

從圖-1所示的幾何關(guān)系可以得到：
(8)
用方程式(8)中的 替代超聲回波計(jì)算式中的 ，可以將超聲回波化為：
(9)
特別地，我們可以取某一時(shí)刻 的超聲回波作為研究對(duì)象，時(shí)刻 可以選為 ，即超聲波從傳感器中心線(xiàn)返回時(shí)刻。則在這一時(shí)刻的超聲回波可以表示為：
(10)
式中,

方程 (10) 就是關(guān)于超聲散射回波與微裂紋分形參數(shù)（ Hurst指數(shù)）的關(guān)系模型。當(dāng)方程中除Hurst指數(shù)外的其它參數(shù)給定時(shí)，我們就可以根據(jù)試驗(yàn)測(cè)得的時(shí)刻τ的裂紋散射回波D(τ)來(lái)確定裂紋的分形參數(shù)H。 我們可以利用這個(gè)關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)微裂紋分形參數(shù)的測(cè)量。