摘要：Boost變換器是組成高階變換器的基本單元，故對其建模和仿真的研究有著理論和實(shí)際意義。狀態(tài)空間平均法是DC-DC變換器建模的有力工具。在考慮了電感電容高頻寄生電阻的條件下，應(yīng)用狀態(tài)空間平均法對非理想Boost變換器進(jìn)行建模。為統(tǒng)一開關(guān)變換器不同工作狀態(tài)下的狀態(tài)方程，在此引入開關(guān)函數(shù)。開關(guān)函數(shù)的引入使得對狀態(tài)方程平均化的問題轉(zhuǎn)化為對開關(guān)函數(shù)平均化的問題，簡化了建模過程，且平均化的開關(guān)函數(shù)具有明確的物理意義。最后將數(shù)學(xué)模型與電路模型的仿真結(jié)果以及實(shí)測數(shù)據(jù)加以對比，得出了較為一致的結(jié)論，為直流變換器的設(shè)計(jì)和分析提供參考。
關(guān)鍵詞：狀態(tài)空間平均法；Boost變換器；數(shù)學(xué)模型；電路仿真

DC-DC變換器是構(gòu)建許多其他類型變換器的基本組成部分。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于輸入的直流量存在紋波以及負(fù)載的微小變化等因素，使得DC-DC變換器是一個非線性時變系統(tǒng)，關(guān)于它的建模研究一直受到普遍重視。狀態(tài)空間平均法是在變換器滿足低頻假設(shè)、小紋波假設(shè)及小信號假設(shè)的前提條件下，對非線性系統(tǒng)的線性化建模方法。在滿足假設(shè)條件的前提下，可以得到較好的仿真結(jié)果。對理論研究和設(shè)計(jì)有一定指導(dǎo)意義。

1 建模方法
為了消除變換器中高頻紋波對各變量的影響，需要采取在一個開關(guān)周期內(nèi)求變量平均值的方法，并以狀態(tài)方程的形式建立各平均變量間的關(guān)系，進(jìn)而建立平均狀態(tài)方程。對于CCM模式下的理想DC-DC變換器，在一個開關(guān)周期內(nèi)，對應(yīng)開關(guān)元件的不同工作狀態(tài)，通?？梢詫⒆儞Q器的工作過程分為兩個階段，針對每個階段分段列出狀態(tài)方程。根據(jù)文獻(xiàn)所述，有：

式中：x(t)為狀態(tài)向量；u(t)為輸入向量；y(t)為輸出向量；A1為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；B1為輸入矩陣；C1為輸出矩陣；E1為前饋系數(shù)矩陣。
同理，在每個開關(guān)周期的[dTs，Ts]時間段內(nèi)，采取同樣的方法，建立該時間段內(nèi)的狀態(tài)空間表達(dá)式：


在變換器滿足低頻假設(shè)與小紋波假設(shè)時，可用狀態(tài)變量在一個周期內(nèi)的平均值代替瞬時值，得到CCM模式下DC-DC變換器平均變量狀態(tài)方程的一般形式：

在低頻假設(shè)與小紋波假設(shè)的前提下，對于狀態(tài)變量與輸入變量可以用其在一個開關(guān)周期內(nèi)的平均值代替瞬時值，并近似認(rèn)為平均值在一個開關(guān)周期內(nèi)維持恒定，即：

為了使變換器在不同工作狀態(tài)下狀態(tài)具有統(tǒng)一的形式，本文引入開關(guān)函數(shù)，并設(shè)開關(guān)導(dǎo)通時ε(t)=1，開關(guān)截止時ε(t)=0，即：

在定義了開關(guān)函數(shù)后，變換器的狀態(tài)方程即可用如下形式的微分方程來表示：

式中x=[i(t) u(t)]T。引入開關(guān)函數(shù)后，狀態(tài)方程的物理意義更加明確，狀態(tài)方程平均化問題得到簡化。下面將應(yīng)用此方法對非理想Boost變換器進(jìn)行建模分析，其分析方法同樣適用于其他變換器。