1 引言

從非線性動力學角度來說，開關(guān)變換器是一個強非線性時變動力學系統(tǒng)，因此存在著豐富的非線性現(xiàn)象，包括各種類型的次諧波、分叉與混沌等。由于混沌動態(tài)是一種不穩(wěn)定振動，混沌現(xiàn)象是一種不正常不可靠的現(xiàn)象，混沌的不確定性將導致系統(tǒng)的運行狀態(tài)無法預測，從而使變換器的控制性能受到極大的影響，甚至完全不能工作，所以研究開關(guān)變換器中混沌產(chǎn)生的方式、分析方法有助于我們在設計中避開這種不理想現(xiàn)象，使變換器工作于穩(wěn)定的周期，這對于正確設計和調(diào)試開關(guān)變換器具有重要的指導意義。

本文對混沌的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀作一綜述，并詳細介紹其分析方法。

2 混沌的基本概念

1963年，Lorenz從簡化的大氣模型中推導出著名的Lorenz方程，這組三階的微分方程呈現(xiàn)出一種奇異的現(xiàn)象，即混沌現(xiàn)象，從此揭開了混沌學發(fā)展的新篇章。Lorenz微分方程組如下：

(1)

在這個系統(tǒng)中，S ，R，B是可變參數(shù)，其中任意參數(shù)的改變都可能導致系統(tǒng)從周期態(tài)向混沌態(tài)的轉(zhuǎn)變[1]。

從Lorenz系統(tǒng)中研究可知，產(chǎn)生混沌的原因是耗散和非耗散相互作用的結(jié)果。耗散作用的整體穩(wěn)定性和非線性作用的局部不穩(wěn)定性作用便形成了混沌[2].而奇異吸引子是混沌的本質(zhì)所在。這時候人們發(fā)現(xiàn)即使對于典型的可用確定論方法描述的系統(tǒng)來說，只要該系統(tǒng)稍微復雜一些，在一定條件下也會產(chǎn)生非周期的表面上看起來毫無規(guī)律的運動，改變了那種認為用確定論方法描述的運動都屬于規(guī)則運動的錯誤觀念。這種來自可用確定論方法描述的系統(tǒng)中的無規(guī)則運動，稱為混沌或內(nèi)在隨機性。它表面上是隨機運動，實際上是有一定結(jié)構(gòu)的形式，而真正的隨機行為出現(xiàn)在嘈雜系統(tǒng)中?；煦邕\動通常還具有確定性運動所沒有的特征，如局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定、無限自相似、對初值變化的高度敏感性、奇異吸引子中包含多個不穩(wěn)定周期軌道、連續(xù)的功率譜等[3]。首次證明開關(guān)變換器中存在混沌的是Brockett和Wood，他們在1984年發(fā)表的一篇會議論文中指出受控的Buck 變換器可產(chǎn)生混沌行為[4]。1988年，Hamill和Jefferies首先對開關(guān)變換器中的混沌現(xiàn)象進行了理論分析[5]。而文獻[6]指出由于開關(guān)變換器是強非線性離散系統(tǒng)，而非線性微分方程的解不是唯一的，當非線性系統(tǒng)的周期解處于臨界狀態(tài)時，它對微小的參數(shù)攝動或初始條件變化都極為敏感，就可能進入連續(xù)分頻狀態(tài)，最后出現(xiàn)混沌。

3 混沌的分析方法

Middlebrook等在1976年提出的狀態(tài)空間平均法[7]是目前使用最廣泛的方法。它將時變電路變成了非時變線性電路，從而可求穩(wěn)態(tài)工作點、小信號傳遞函數(shù)等。它是簡明性和準確性的一個較好的折中。但也存在著穩(wěn)定性分析不準確、不能分析紋波、無法分析準諧振變換器等缺點。另外，它在連續(xù)導電模式中忽略了開關(guān)變換器頻率的影響，由此而產(chǎn)生的線性模型中，占空比成為連續(xù)的時間變量，然而實際上占空比是定義成離散時間變量的，在一個開關(guān)周期內(nèi)討論占空比的變化是毫無意義的[8].由于所得到的是一個線性模型，忽略了開關(guān)變換器的非線性特征，因此不可能對開關(guān)變換器中的次諧波、混沌等非線性現(xiàn)象作出正確的分析，這些不足使得離散時間模型[9]應運而生。它保留了變換器的非線性特性，是較為準確的一種方法，一般可以得到映射的隱式表達。它的主要特點是提出采樣序列的概念，而不是把開關(guān)描述成連續(xù)的，即每隔一定時間對變換器作一次采樣，通常是在波峰波谷處采樣更方便。開關(guān)周期內(nèi)狀態(tài)的變化由一映射函數(shù)描述。這個函數(shù)可能會較復雜，但一旦得到，就可以用計算機來對它進行反復迭代，從而確定變換器的狀態(tài)是怎樣從一個周期演變到另一個周期的。

文獻[10]是基于離散時間模型的非線性迭代映射法。一般的，其狀態(tài)方程可以描述為

=f(x，t)，其中x是n維狀態(tài)矢量(常為電容電流或電感電壓)，每一個周期對X采樣(通常在波峰或波谷處)，即可得到一個離散系統(tǒng)。于是就得到一個{

}序列，時間就不出現(xiàn)在方程里了。

3.1 一維映射

對于一維映射 x——>F(x)， F是一個作用在一個實數(shù)上來產(chǎn)生另一個實數(shù)的函數(shù)。滿足方程x*=F(x*)且在映射下保持不變的點叫F的固定點。我們的興趣在于用這個函數(shù)將一個區(qū)域劃到它自己內(nèi)部。例如x—>ax(1-x)， 其中a是一個參數(shù)，0≤a≤4，這個函數(shù)就是將區(qū)間[0，1]劃到它內(nèi)部。若a=2，則方程變?yōu)?/p>

m=0，1，2

這是一個一階差分方程，x的當前值僅由前一個值決定。從任一個初值

開始反復迭代就可以得到一個序列{

}.任選一個不等零的初值，序列最終收斂于x*=0.5，這個點叫做吸引性固定點。反之對于固定點x*=0，若初值不等零，而序列會偏離初值，則這個點不具有吸引性。 由上可知，固定點對系統(tǒng)有著重要影響。 特別的，穩(wěn)定行為與吸引性固定點有關(guān)系。，那樣的點叫穩(wěn)定固定點。而不具有吸引性的固定點會導致混沌。

3.2 高維映射

迭代法對高維映射也適用。在n維情況下，令人關(guān)注的是n維矢量之間的關(guān)系。這時候，F(xiàn)作用在一個矢量上以產(chǎn)生另一個n維矢量。與一維映射同樣，我們的興趣在于把一個區(qū)域劃到它內(nèi)部，不同的是這個區(qū)域是一個n維空間.下面給一個二維例子,

(2)

其中x=

, a、b均是參數(shù)。因為必須把函數(shù)畫在二維空間里,所以要看高維映射是較困難的,甚至n =2這種情況也不例外。同樣，對于高維映射，滿足

的矢量

即為固定點。如當 a=1.4、b=0.3時,方程(2)有兩個固定點,但都不具有吸引性,因而會導致混沌。