引言
Reed-Solomon碼首先是由Reed和Solomon兩人于1960年提出來的，簡稱為RS碼。這是一類具有很強(qiáng)糾錯能力的多進(jìn)制BCH碼，既能糾正隨機(jī)錯誤，也能糾正突發(fā)錯誤，也是一類典型的代數(shù)幾何碼。RS碼一直以來都是國際通信領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。
本文以戰(zhàn)術(shù)軍用通信系統(tǒng)的首選碼RS(31，15)碼為例，對生成多項(xiàng)式進(jìn)行了優(yōu)化，并采用查表法的原理極大地提高了編碼器運(yùn)算數(shù)據(jù)的能力，縮短了運(yùn)算周期，最終利用VHDL語言編譯，在FPGA中實(shí)現(xiàn)，得到了正確的RS編譯碼。

1 RS編碼原理
能糾正t個錯誤的RS(n，k)碼具有如下特性：
碼長：n=2m-1符號或m(2m-1)比特；信息碼元數(shù)：k=n-2t符號或mk比特；監(jiān)督碼元數(shù)：n-k=2t符號或m(n-k)比特；最小距離：d=2t+1=n-k-1符號或m(n-k+1)比特；最小距離為d的本原RS碼的生成多項(xiàng)式一般為：

令信息元多項(xiàng)式為：

監(jiān)督多項(xiàng)式為：

則碼多項(xiàng)式為：

式中：Q(x)是g(x)整除C(x)所得的商式。所有這些原理都與二進(jìn)制循環(huán)碼一樣，不同的僅在于運(yùn)算方法。對于二進(jìn)制碼，碼多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)只能取0或1，多項(xiàng)式的加減乘除是模二運(yùn)算，是定義在GF(2)域上的多項(xiàng)式。現(xiàn)在碼多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)可以取q=2m種不同的值，應(yīng)當(dāng)是定義在GF(2m)域上的多項(xiàng)式。

2 生成多項(xiàng)式的優(yōu)化
以RS(31，15)為例，n=31，k=15，可糾正錯誤數(shù)為t=(n-k)／2=8；以為本原多項(xiàng)式，可得到GF(25)上的元素如表1所示。
一般的生成多項(xiàng)式為：

則碼字多項(xiàng)式以為零點(diǎn)。
由于注意到：