1 快速傅里葉變換的原理

　　非周期性連續(xù)時間信號x(t)的傅里葉變換可以表示為

　　式中計算出來的是信號x(t)的連續(xù)頻譜。但是，在實際的控制系統(tǒng)中能夠得到的是連續(xù)信號x(t)的離散采樣值x(nT)。因此需要利用離散信號x(nT)來計算信號x(t)的頻譜。

　　有限長離散信號x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定義為：

　　可以看出，DFT需要計算大約N2次乘法和N2次加法。當N較大時，這個計算量是很大的。利用WN的對稱性和周期性，將N點DFT分解為兩個N/2點的 DFT，這樣兩個N/2點DFT總的計算量只是原來的一半，即(N/2)2+(N/2)2=N2/2，這樣可以繼續(xù)分解下去，將N/2再分解為N/4點 DFT等。對于N=2m 點的DFT都可以分解為2點的DFT，這樣其計算量可以減少為(N/2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。圖1為FFT與DFT-所需運算量與計算點數(shù)的關(guān)系曲線。由圖可以明顯看出FFT算法的優(yōu)越性。

　　將x(n)分解為偶數(shù)與奇數(shù)的兩個序列之和，即

　　x1(n)和x2(n)的長度都是N/2，x1(n)是偶數(shù)序列，x2(n)是奇數(shù)序列，則

　　其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N/2點DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N/2為周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示為：

　　上式的運算可以用圖2表示，根據(jù)其形狀稱之為蝶形運算。依此類推，經(jīng)過m-1次分解，最后將N點DFT分解為N/2個兩點DFT。圖3為8點FFT的分解流程。

　　FFT算法的原理是通過許多小的更加容易進行的變換去實現(xiàn)大規(guī)模的變換，降低了運算要求，提高了與運算速度。FFT不是DFT的近似運算，它們完全是等效的。